0287

289

§ S. Szeregi iterowane i podwójne

Twierdzenie 5. Jeżeli a¹^ >0, to warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, by szereg (10) był zbieżny, jest, by jego sumy częściowe były ograniczone.

Dowtód. Konieczność warunku jest oczywista. Udowodnimy, że jest on dostateczny. Niech A™ < L. Weźmy kres górny zbioru sum A™:

A - sup {/C*}

i wykażmy, że jest on sumą naszego szeregu.

Niech dane będzie dowolne e > 0. Z definicji kresu górnego istnieje taka suma częściowa Al^ , że

AZ > A-z.

Jeśli weźmiemy m > m₀ i n > n₀, to będzie tym bardziej

A?>A-e,

bo A⁽*^} oczywiście rośnie, gdy rosną oba wskaźniki m i n.

Skoro dowolna suma częściowa nie przewyższa A, możemy napisać, że

1.4*’—A\ < z dla m> m₀ i n > n₀ ,

a to właśnie znaczy, że

A = lim A,

m-+co n-co

czyli, że szereg (10) jest zbieżny.

Na podstawie tego twierdzenia można otrzymać twierdzenie o porównywaniu szeregów podwójnych analogiczne do twierdzenia 1 z ustępu 366; pozostawiamy to do wykonania czytelnikowi.

Rozpatrzmy teraz szereg podwójny utworzony z macierzy, w której nie wszystkie wyrazy są nieujemne. Oczywiście, podobnie jak dla szeregów zwykłych możemy nie rozpatrywać tych przypadków, gdy wszystkie elementy macierzy są ujemne lub gdy macierz zawiera tylko skończoną liczbę elementów dodatnich, lub skończoną liczbę elementów ujemnych, gdyż wszystkie te przypadki redukują się bezpośrednio do rozpatrywanego przed chwilą przypadku szeregów dodatnich. Załóżmy wobec tego, że w rozpatrywanej macierzy (I), a więc i w szeregu (10), jest nieskończenie wiele zarówno wyrazów dodatnich jak i ujemnych.

Obok macierzy (I) utworzymy jeszcze macierz wartości bezwzględnych jej elementów

ki	ki •	. ki...
	ki •	. ki...
ki	ki •	. i«:i...

19 Rachunek różniczkowy