0295

297

$ 5. Szeregi iterowane i podwójne

Z drugiej strony, jest

Ai²+2Bik+Ck² = -i- [(AC^B²)i²+(Si+Ck)²] > A/² ,

a więc

a**' <    • ——    i analogicznie a'^ł) < —— • —?—.

' A* i^2p    A^p k^2p

Łatwo stąd wnosić, że

Zestawiając to z 9) widzimy, że dla p> 1 rozpatrywany szereg jest zbieżny.

12) W twierdzeniu 4 obok założenia zbieżności szeregu podwójnego zrobiliśmy osobno założenie, że zbieżne są wszystkie szeregi utworzone z wierszy. Następujący prosty przykład pokaźnie, że tego drugiego założenia nie można pominąć — nie wynika ono z pierwszego. Szereg podwójny macierzy

1	-i	1	-1 ...
-1	i	-1	1 ...
i	1	1	1
2	2	2	2 "*
1	1	1	1
2	2	2	2 *”
I	i	1	1
3	3	3	3 ***
1	1	1	1
3	3	3	3

jest zbieżny i jego suma równa się 0. Tymczasem wszystkie wiersze dają szeregi rozbieżne.

13) Znaleźć sumy następujących szeregów:

0C    00

^(a) Y.,-' - —TT (/>>-»);    (b) V -i—-ln2;

i (p+/»r p+1    zi_j (2n)"

•dl-2    m-2^-!

^(c) Yj (4#i— 1)^j*+* “T ~y^ln2> W (4n— l)¹" "" T^{ln 2} ’

*.»-l    M)«-l

00

(e) V-L___2L.

Z_j (4n—2)²"    8

Wskazówka. Przejść do szeregu iterowanego sumując najpierw po nu Wykorzystać znane rozwinię-

cia

ⁱ_i ₊ i_±₊." _{= ln2}, ,--1 + 1-}+...-!*.

14) Rozpatrzmy funkcję dwóch zmiennych

q> (x, z) =    (z # 0).

Mnożąc szeregi bezwzględnie zbieżne

<•0    fc-0

otrzymujemy dla tej funkcji szereg podwójny