0291

293

§ 5. Szeregi iterowane i podwójne

Ciekawe jest zestawienie tego wyniku z wynikiem J. Steinera

m-2 k-2

S

jn~2

i

m (m— 1)

1.

Tutaj potęgi mogą się powtarzać.

4) Rozpatrzmy macierz o wyrazie ogólnym

» (dr—I)!    _    (/-!)!

' i (i + l )...(/+*) k (k+1)... (k+0

Korzystając (dla « = 0 i p — k) ze związku

(II)

S (*+») («+»+!) ... (* + n+p) /»(«+!) ... («+p) ’

I

znalezionego w 4) ustępu 363 łatwo zsumujemy wyrazy k-go wiersza:

I <

i-i

" _ (*-■)! _

kk\ k¹

Stąd suma szeregu iterowanego wynosi

00 CO    00

⁰²¹

Wobec symetrii wyrażenia a‘‘^> względem iik, drugi szereg iterowany jest ‘identyczny z pierwszym i przyrównanie sum nie da nam nic nowego.

Przekształcimy teraz macierz w taki sposób: w /i-tym wierszu zachowamy m—1 wyrazów dawnych, zamiast m-tego wyrazu postawimy sumę r„ wszystkich wyrazów m-tego wiersza od m-tego począwszy, pozostałe zaś wyrazy odrzucimy.

Dla nowej macierzy

r i

,«•	rj
	a<»> i	/■j
.(*) 'l	fl<»> i	a(m) 3	m-1
r(«fl) 'i	„(■+!) 2	3	w-ł	m

sumy wierszy, a wraz z nimi i suma pierwszego szeregu iterowanego, pozostąją bez zmiany [p. (12)]. Aby zsumować kolumny, obliczymy najpierw

r,

(w-1)1

/(/+!)... («+m)

£

R«1

(m-D!

(m—l+/r)... (2m—1+łi)

(«-»!

m^ł(m+l)... (2m— 1)