0293

295

§ 5. Szeregi iterowane i podwójne

twierdzenie 3 i sumować według kolumn. Otrzymamy rozwinięcie 9s (x) na szereg potęgowy

q> (x) =    gdzie

mml    a|m

Symbol k\n oznacza, że suma jest rozciągnięta tylko na dzielniki k liczby 11. Biorąc na przykład a_k = 1 lub a_k = k(') mamy odpowiednio

ro    to    »    ac

A-l    n—1    A-l    n-1

gdzie r (») oznacza liczbę dzielników n,a« (n) ich sumę. 6) Ustawimy te same wyrazy inaczej, bez luk:

akx	atx^1	akx^2	aix^1
a2x^z	a2x^1	fljJt^6	a2x^1
a3x^3	a3x^6	a3 x^9	a3x'^2
aĄx^1	aĄx^1	aĄx'^2	aĄx^16

Zachowują się przy tym oczywiście sumy wierszy. Sumy kolumn są równe po kolei /(¹), f(x²), f(x²), f(x¹X ...

Tak więc otrzymujemy tożsamość

<P W = Y

n—1

wiążącą <p i /.

Biorąc na przykład a_k = <i¹, gdzie \a\ < I otrzymujemy

więc

z

A-l

/W =

00

(ax? l-.r‘

n—1

ax

1— ax ’

(lal < 1, W < 1).

7) Otrzymany wynik można uogólnić. Niech będą dane dwa szeregi potęgowe

co    cc

f(x) = '£a„x" i g (¹) = £    x”.

n-1    m-1

Ograniczymy się do wartości x, dla których |jr| < 1 i obydwa szeregi są bezwzględnie zbieżne.

Utwórzmy macierz elementów a„b„x^m". Ponieważ dla m>l i n> 1 zachodzi nierówność mn > m+n,

więc

Ia„ b„ x”+"| < |o„ x"| • 1 b„ x^m|.

Łatwo stąd wywnioskować, że szereg podwójny odpowiadający tej macierzy, jest bezwzględnie zbieżny. Przyrównując do siebie, na mocy wniosku, sumy szeregów iterowanych, otrzymujemy tożsamość

b_mf{x^m) = 'Y,a_ng (¹").

m-1    n-1

1

W obu przypadkach R = 1, jak łatwo sprawdzić, wystarczy więc po prostu założyć, że i¹|<l.