0289

291

§ 5. Szeregi iterowane i podwójne

Niech teraz będzie zbieżny bezwzględnie szereg zwykły (6), tzn. szereg (6*) jest zbieżny. Sumę jego oznaczymy przez U*. Dla każdej sumy częściowej

n m

szeregu (10*) znajdzie się tak duże r, że wszystkie składniki tej sumy częściowej będą zawarte wśród pierwszych r wyrazów szeregu (6*), a więc będzie

W takim razie — na mocy twierdzenia 5 — szereg podwójny (10*) jest zbieżny, a więc szereg (10) jest bezwzględnie zbieżny.

Aby wreszcie obliczyć sumę U szeregu (6), można — z uwagi na jego zbieżność bezwzględną — ustawić jego wyrazy w dowolnym porządku [387] wygodnym do tego celu. Ustawimy je kwadratami według schematu (1). Jeżeli wówczas połączymy wyrazy, którymi jeden kwadrat różni się od drugiego, to otrzymamy

U = lim A™ = A ,

co kończy dowód.

Zestawiając ze sobą twierdzenia 1, 2 i 7 wysłowimy na zakończenie następujący wniosek:

Wniosek. Niech macierz (1) / ciąg (5) składają się z tych samych wyrazów. Wówczas następujące szeregi: szereg podwójny (10), szereg iterowany (3) i (4) i wreszcie szereg zwykły (6) są wszystkie zbieżne bezwzględnie i mają tę samą sumę, jeżeli przynajmniej jeden z nich jest bezwzględnie zbieżny.

W przypadku szeregów dodatnich (tzn. gdy d^ > 0) wystarczy oczywiście zbieżność jednego ze wskazanych szeregów na to, by wszystkie cztery były zbieżne i miały tę samą sumę.

395. Przykłady

t) Ciekawy przykład daje macierz (0< jr< 1)

x    —x^z    x²    —x³    x³

jc (1 —ar)    —ar²(l—ar²)    ar²(l—.t²)    —ar³(l—ar³) ar³(l— ar³)

ar(l—ar)² —jc²(1 — jc²)²    x²(l—x²)²    — or³(l—ar³)²    je³(l —jc³)²

Tutaj szeregi utworzone z wierszy są bezwzględnie zbieżne i mają odpowiednio sumy równe x, x (1 — —ar), ar (1 —ar)², ... Szereg utworzony z tych sum jest też bezwzględnie zbieżny; jego suma jest równa 1. Tymczasem drugi szereg iterowany nie jest zbieżny, bo szeregi utworzone z kolumn mają sumy równe na przemian +1 i —1.

Fakt ten wcale nie jest sprzeczny z twierdzeniem 2, bo dla macierzy wartości bezwzględnych żaden z szeregów iterowanych nie jest zbieżny. Widzimy tylko, że założenie bezwzględnej zbieżności szeregów utworzonych z wierszy (kolumn) i bezwzględnej zbieżności szeregu utworzonego z ich sum nie może zastąpić założenia, by był zbieżny szereg iterowany dla macierzy wartości bezwzględnych.