6060119927

(b) Ustalmy a G S. Niech x_n G S\ {«} , n G N, będzie ciągiem zbieżnym do a w przestrzeni (!R², Ihlls) - Udowodnij, że w przestrzeni (RMH|₂) istnieje granica

e = lim

•ł‘» - a ||a:„ - o||₂

Helia = 1 i <c,o> = 0.

3.18. Niech będzie P = {(x,y) € M² : x² - y = 0} .

(a) Dla n G N przyjmijmy

^(a!'‘’^3,n)=(^TT’^TI)⁵)-

Sprawdź, że (1,1) € P, (x_n,y_n) G P, n G N i znajdź granice

lim (x_n,y_n)

n—»oo

oraz

..    (2n,yn)    (U^)

n-oc ||(Xn,y_a) “ (1» 1)||₂

w przestrzeni (R², U-j^) .

(b) Ustalmy a = (a_x,Oy) G P. Niech x_n G P\{«}, n € N, będzie ciągiem zbieżnym do a w przestrzeni (R².||-||₂). Udowodnij, że w przestrzeni (R², ||-||₂) istnieje granica

e = (e_x,e_y) =

lim

M—*OC

Xji (l

H*„-a||₂’

||e||₂ = 1 i 2a_xe_x - Oye_y = 0.

3.19. Niech / : R —» R będzie funkcją różniczkowalną. Ustalmy xo G R i weźmy dowolny ciąg t„ G R\ {to} , ⁿ € N, zbieżny do .To. Przyjmijmy

a = (*o, / (®o)) > <** = ten, / (*«)), ^ G N.

Znajdź granicę

On - tt

n-i ||n_n - a||₂

w przestrzeni (R²,||-||₂) •