chądzyński3

140 8. ODWZOROWANIA KONFOREMNE

Niech teraz z będzie dowolnym punktem zbioru K_n. Załóżmy, że 'z £ D_p. Wówczas \z — Zp\ < 6 i dla dowolnych k, l > N na mocy (1) i (2) mamy

\fm_k {^z) ~ fmi (^z) | 5; \jm_k (%) ~ fni_k (^p)| 4 j fm_L {^z) ~ fm_L (~p) \

~t~ | fm_k (^zp) fmi (^zp) I ^

Reasumując, dla dowolnego e > 0 istnieje takie N > 0, że dla dowolnych k,l>N i dowolnego 2 € K_n mamy \f_TTlk (z) — f_mi (z) J < e.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 2 (Vitali). Niech {/«.} będzie ciągiem funkcji holomorficznych w obszarze G C C, niemal ograniczonym w G. Pokazać, że jeśli ciąg {/_n} jest zbieżny w ciągu punktów mającym punkt skupienia w G, to jest nieomal jednostajnie zbieżny w G .    j

1

Rozwiązanie. Z twierdzenia 1.46.1 (Stieltjesa-Osgooda) z ciągu {jf_n} można wybrać podciąg {fm_k} zbieżny niemal jednostajnie w G do funkcji /. W myśl twierdzenia 1.26.1 funkcja / jest holomorficzną w G.    |

Zauważmy, że funkcja / jest granicą dowolnego podciągu {fn_k} ciągu {/„} niemal jednostajnie zbieżnego w G. Istotnie, niech ciąg {f_nk} będzie zbieżny do funkcji holomorficznej g. Z założenia funkcje fig pokrywają się w ciągu punktów mającym punkt skupienia N G, zatem, na mocy twierdzenia 1.34.3 (o identyczności), / = g.

Pokażemy teraz, że ciąg {/„} jest niemal jednostajnie zbieżnjf do funkcji /. Przypuśćmy przeciwnie, że istnieje zbiór zwarty K Cj G, liczba e > 0 i ciąg rosnący liczb naturalnych {n_k} taki, że

(1)    sup_zeK\f_nk (z) - f(z)\ > £ dla k eN.

Ponownie z twierdzenia 1.46.1 z ciągu {f_n._k} można wybrać podciąg |/_nfc | niemal jednostajnie zbieżny w G. Na mocy poprzedniego ciąg

{fn_kl\ jest zbieżny do /. Zatem podciąg {/n_fc, } ciągu {/_nfc} jest

zbieżny jednostajnie na K do funkcji /, co jest sprzeczne z (1).

To kończy rozwiązanie.    ; d

8.2. Odwz orowania konforemne

Zadanie 1. Pokazać, że płaszczyzny C nie można odwzorować konforemnie na żaden obszar jedno spójny G$€.

!

i

i

1

] Rozwiązanie. Przypuśćmy przeciwnie, że istnieją obszar jednospójny !    G ę, C i funkcja fi odwzorowująca konforemnie C na G. Z drugiej

;    strony, w myśl twierdzenia Riemanna, istnieje funkcja fi odwzorowu-

i jąca konforemnie G na koło jednostkowe K — {z € C : \z\ < 1}.

Wówczas funkcja /₂ o/j odwzorowuje konforemnie C na K. To jest 5 jednak niemożliwe, bo funkcja /₂ ° fi w myśl twierdzenia Liouville’a ] jest stała.

| To kończy rozwiązanie.    □

i Zadanie 2. Pokazać, ze każde odwzorowanie konforemne f : C —> C I jest odwzorowaniem liniowym.

i.

j Rozwiązanie. Zauważmy najpierw, że \    (1)    lim / (z) = oo.

Z—>-DO

]    W przeciwnym razie istniałby ciąg {z_n} taki, że z_n —> oo, f(z_n) -mig

\    C, gdy n —> oo. To jednak przeczy ciągłości /^-1 w punkcie a.

Funkcja / jest całkowita, zatem na mocy wniosku 1.30. ł mamy

i    0°

! (2)    f(z) = j2^anz71 dla zeC-

\    7J,~0

!

I Rozważmy funkcję g : C\{0} B £    /(l/£) £ <C. Fmikcja g jest

i regularna w C i w myśl (1) ma w punkcie 0 biegun. Z drugiej strony, j z (2) mamy

I    oo

j    (3)    g{C) = X>"Cⁿ dla (€C\{0),

j    ?a=0

|    zatem tylko skończona ilość współczynników w    (3) jest różna od zera.

^    W konsekwencji    istnieje taka liczba naturalna k    > 0, że a_n — 0 dla n >

|    k. Stąd, w myśl    (2), dostajemy f{z) = «₀ + a-i z    -j- ... + a_kz^k. Na mocy

|    własności 1.48.1    f'(z) ^ 0 dla z £ <C. Zatem    na. mocy zasadniczego

; twierdzenia algebry (zadanie 5.1.8) mamy k — li f(z) — ao + a\Z.

^[ Oczywiście ai ^ 0.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 3. Niech P₀ = {z £ C : 0 < \z\ < 1}, P^ = {z £ C : 1 < \z\}, G — C \ (—1, l) i h będzie funkcją określoną wzorem h(z) — (1/2)(zpz~^). Pokazać, że:

(a) fmikcja h przekształca konforemnie Pq na G,