0529

530

Uzupełnienie

Niech M₀(x₀, v₀) będzie dowolnym punktem brzegu Dla uproszczenia przyjmijmy, że *0=0 i y_o=0. Punkt ten leży zatem na jednej z krzywych gładkich, z których składa się ST, i jest zwykłym punktem tej krzywej. Nie zmniejszając ogólności możemy wobec tego przyjąć, że w otoczeniu punktu M₀ krzywa może być przedstawiona równaniem postaci y=g(x), w którym funkcja g jest także klasy ^<6ⁿ, i że obszar M leży w otoczeniu punktu M₀ nad tą krzywą (rys. 166a), to znaczy punkty obszaru z tego otoczenia spełniają nierówność y^g(x).

zmmt*,.		b) V ^1	m
0	y=g(*r^' *	0		a

Rys. 166

Zamieńmy zmienne przyjmując

x = u,    y = g(u) + v.

Funkcja f(x,y) przejdzie przy tym w funkcję

ę{u,v)=f{u, g(u) + v),

która jest też klasy w otoczeniu punktu u=0 i y=0 dla l ^O (rys. 166b). Zgodnie z lematem I funkcję ę można przedłużyć z zachowaniem klasy na wartości v<0 ograniczając się oczywiście stale do punktów leżących dostatecznie blisko początku układu. Oznaczmy przez <p*(u, v) funkcję będącą tym przedłużeniem. Wracając do starych zmiennych łatwo jest dostrzec, że funkcja

f*(x,y)=<p*(x,y-g(x))

jest przedłużeniem funkcji / na pewne otoczenie punktu M₀.

Z lematu II wynika teraz, że funkcja / może być przedłużona z zachowaniem klasy na całą płaszczyznę S.

261. Uogólnienie. Otrzymany wynik jest jednak niewystarczający dla potrzeb praktycznych, bo często ma się do czynienia z obszarami, których brzegi mają punkty kątowe.

Będziemy nazywali krzywą kawałkami gładką klasy ⁽Śⁿ krzywą, składającą się ze skończonej liczby łuków gładkich klasy ^tTⁿ przylegających do siebie końcami pod pewnymi kątami (różnymi od 0 i od a).

Twierdzenie II. Twierdzenie I pozostaje prawdziwe, gdy kontur ST obszaru Jt składa się ze skończonej liczby nie przecinających się zamkniętych krzywych kawałkami gładkich ⁽€ⁿ.

Widzieliśmy już, że dla dowolnego punktu brzegu i? nie będącego punktem kątowym można znaleźć otoczenie, na które funkcja / daje się przedłużyć z zachowaniem klasy. Udowodnimy teraz to samo dla punktu kątowego .W₀(x₀,y₀).