2659241295

Wykład 1

02.10.2007

Niech d będzie dowolną liczbą naturalną.

R^d={(*1, ■ • •, x_d); xi e R A i e 1, d}. xeR^d«-x = (xi ,...,Xd).

Uwaga 1.1 Na I roku na wykładzie z analizy matematycznej elementy R^d nazywaliśmy wektorami. Na tym wykładzie będziemy myśleć dualnie o nich jako o wektorach i jako o punktach.

Uwaga 1.2 Wiadomo z wykładu algebry liniowej, że (R^d,+, -,0) jest przestrzenią wektorową nadR (dodawanie, to dodawanie po współrzędnych, a mnożenie przez liczbę, to mnożenie po współrzędnych, element (wektor) zerowy, to (0,..., ())).

Definicja 1.1 Niech x, y € R^d będą dowolne. Naturalny (euklidesowy) iloczyn skalamy punktów elementów z R^d oraz normę euklidesową elementu¹ generowaną przez iloczyn skalamy określamy następująco:

(1.1)

(1.2)

(^xly) =^f XiVi l^xl| *= \/(x]y) = J ^ Xj.

Wniosek 1.1 Niech x, y i z będą dowolnymi elementami z R^d, zaś a dowolną liczbą rzeczywistą. Wtedy iloczyn skalamy posiada następujące własności

(x|y) = (y|x);	(1.3)
(x + y|z) = (x|z) + (y|z);	(1.4)
(o • x|y) = a ■ (x|y),	(1.5)
(x|x) > 0,	(1.6)
(x|x) = 0 ś=> x = 0,	(1.7)
l|x|| > 0;	(1.8)
||a-x|| = |a| -11x11;	(1.9)
||x|| = 0 <=> x = 0.	(1.10)

a norma euklidesowo między innymi następujące:

Uwaga 1.3 ² W kwestii oznaczania iloczyny skalarnego. Na wykładzie z Analizy Matematycznej na I roku iloczyn skalamy oznaczaliśmy o. Na tym wykładzie również. Jednak z powodu, że złożenie odwzorowań jest również oznaczane tym samym symbolem, a na następnym wykładzie wprowadzamy iloczyn skalamy funkcji zdecydowałem się na zmianę oznaczenia na najczęściej stosowane oznaczenie na Analizie Funkcjonalne (•!•).

1

Nazywaliśmy to długością wektora na I roku