Untitled 18

35]

§ 3. Ciąg monotoniczny

61

Uwaga. Niech c będzie dowolną liczbą dodatnią; przyjmijmy x„ = cy„ i zastąpmy poprzedni związek rekurencyjny związkiem następującym:

1 =>„(2—cy„).

Biorąc wartość początkową >’₀ z przedziału (0, 1/c) otrzymujemy, że y_n rośnie monotonicznie i dąży do l./c. Za pomocą tego schematu liczymy na maszynach matematycznych odwrotność liczby c.

4) Niech dane będą dwie liczby dodatnie a i b (a> b). Utwórzmy średnią arytmetyczną i średnią geometryczną tych liczb:

c -i- b    /—

a₁=——,    bi=yj ab.

Wiadomo, że pierwsza średnia jest większa niż druga(⁵); jednocześnie obie są zawarte pomiędzy wyjściowymi liczbami:

Q> Cl j > &i > b.

Dla liczb t?_s i b_x znowu tworzymy obie średnie:

,    /---T~

a%--——,    bz—\j di b\ ,

Ol+*l

przy czym

Cii (■‘•2 bz bi

itd. Jeżeli liczby a„ i b_n są juz określone, to a„ _{+ I} i b_n + 1 określamy ze wzorów

Ufl Ł» fi    /

G,- +1 = —-—, b_n +1 = a„ b_n

i, jak poprzednio, mamy

a_K> Cln + 1 ^ bn + 1 ^ bn •

Ta metodą utworzyliśmy dwa ciągi {a_n} i {b„}, z których pierwszy jest malejący, a drugi rosnący.

Jednocześnie

a> a„> b_a> b,

czyli obydwa te ciągi są ograniczone, a więc obydwa mają granice skończone

a = lim a„    i ^==limó„.

Jeżeli w równości

a„-T-b_n

Cln+l-

przejdziemy do granicy, to otrzymamy

skąd

a=/?.

Tak więc, obydwa ciągi — i średnich arytmetycznych a„, i średnich geometrycznych b_n — dążą do wspólnej granicy ą-n(a, b). Idąc za C. F. Gaussem nazywamy ją średnią arytmetyczno-geometrycz-ną wyjściowych liczb a i b. Nie możemy teraz wyrazić liczby ą{a, b) przez a i b — do tego celu potrzebna jest tzw. całka eliptyczna (por. tom drugi).

(') Wynika to od razu z nierówności

^(ai-b)—yjab=j(a—2y]ab + b) = '-(_v^/a — y/by>0    (dla a^b).