Untitled 26

37 J

§ 3. Ciąg monotoniczny

69

Mnożąc obie strony tej równości przez n\ i skracając mianowniki wszystkich ułamków prócz ostatniego, otrzymujemy po lewej stronie liczbę całkowitą, a po prawej liczbę całkowitą i ułamek Ojn, co nie jest możliwe. Otrzymana sprzeczność dowodzi prawdziwości uwagi.

38. Lemat o przedziałach zstępujących. Na zakończenie tego paragrafu, poświęconego ciągom monofonicznym, zatrzymamy się nad przypadkiem dwóch ciągów monotonicznych, których wartości zbliżają się do siebie.

Niech dane będą monofonicznie rosnący ciąg {*„} i monofonicznie malejący ciąg {>>„}, przy czym zawsze

(8)    *n<y„-

Jeżeli różnica tych ciągów y_n — x_n dąży do zera, to oba ciągi mają wspólną granicę skończoną:

c = lim = lim y_n.

Rzeczywiście, dla każdego n mamy    a więc na podstawie (8) również x„<y_x

(n = l, 2, 3, ...). Rosnący ciąg {x„} okazuje się ograniczony z góry, a więc jest zbieżny do granicy skończonej

c = lim x_n.

Podobnie dla malejącego ciągu {y„} mamy

y„>^x»>.xi,

czyli również ten ciąg dąży do skończonej granicy

c = lim y_n.

Ale na mocy twierdzenia 1°, [30] różnica obu granic

c' — c = lim (y_n — x„) ,

z założenia równa jest zeru, więc c’ = c, cnd.

Udowodnionemu twierdzeniu można nadać inną postać, w której jest częściej stosowane. Nazwijmy przedziałem domkniętym <a, b) (gdzie a<b) zbiór wszystkich liczb (lub, jak mówimy, punktów) x spełniających nierówności

a^x^b.

Liczby (punkty) a i b nazywamy odpowiednio lewym i prawym końcem przedziału, a ich różnicę b — a długością przedziału. Łatwo zauważyć, że na osi liczbowej przedziałowi odpowiada odcinek (tej samej długości).

Będziemy mówili, że przedział (a', b'} zawiera się w przedziale <c, bj, jeżeli wszystkie punkty pierwszego przedziału należą do drugiego przedziału, czyli jeżeli

a^a'<b'^b .

Sens geometryczny tej definicji jest jasny.