27886

W tyin celu rozdzielimy zmienne dzieląc obie strony równania najpierw przez 2x², x * 0 co daje nam — =    ,

dx 2x

a następnie przez y przy założeniu, że y * 0 i otrzymujemy postać — — = —L-.

y dx 2x

Teraz mnożymy obie strony przez element dx i dostajemy — dy = —- dx.

y '    2x‘

Całkujemy obustronnie J — dy = j dx

i otrzymujemy Inlyl

+C

—^+t    c —

skąd y = e ^2x =e e ^2x = C,<

2x

Funkcja stała y = 0 jest także rozwiązaniem tego równania, bo 2x‘ (0)'= 0.

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE POSTACI y = f(ax + by +c) Rozpatrzymy teraz równanie postaci

w którym wykonujemy podstawienie , skąd

y = f(ax + by +c),

u =ax +by +c

du . dy dx    dx

dy 1 du a

dx b dx b

. dla b * 0.

dy

PRZYKŁAD ó. Rozwiążmy równanie — =(x-y)‘ + 1 przy warunku początkowym v = — dla x=0.

dx    2

Podstawmy skąd	u = x - y, du j dy
	dx dx dy , du
więc	— = 1--.
	dx dx
Wstawmy to do równania i dostajemy	t du , « 1--— U + 1. dx
Dalej mamy	du _ 2 dx
i	ll -1- i
	^J ir ^J
skąd	- = r + C,
	u
czyli	1 u =-. x+C

Wracając do naszego podstawienia otrzymujemy x - y

>’ = *-

x + C 1

ostatecznie więc rozwiązaniem ogólnym jest

x + C

Uwzględniając warunek początkowy mamy ^ = 0 - ^ ^, czyli C=-2, więc jednym z rozwiązań szczególnych jest

funkcja y = x--!— , która dla x=0 przyjmuje wartość y = —.

x-2    2

PRZYKŁAD 7. Roz\siąż równanie y’ = 2x + 3y +1.

Podstawmy    u =2x + 3y +1

oraz    u’= 2 +3y’