0068

69

§ 3. Ciąg monotoniczny

Mnożąc obie strony tej równości przez n! i skracając mianowniki wszystkich ułamków prócz ostatniego, otrzymujemy po lewej stronie liczbę całkowitą, a po prawej liczbę całkowitą i ułamek 6/n, co nie jest możliwe. Otrzymana sprzeczność dowodzi prawdziwości uwagi.

38. Lemat o przedziałach zstępujących. Na zakończenie tego paragrafu, poświęconego ciągom monotonicznym, zatrzymamy się nad przypadkiem dwóch ciągów monotonicznych, których wartości zbliżają się do siebie.

Niech dane będą monofonicznie rosnący ciąg {x„} i monofonicznie malejący ciąg {y_n}, przy czym zawsze

(8)    x_B<y_n.

Jeżeli różnica tych ciągów y„ — x„ dąży do zera, to oba ciągi mają wspólną granicę skończoną:

c = limx„ = limy„.

Rzeczywiście, dla każdego n mamy    a więc na podstawie (8) również x„<j»₁

(n = l, 2, 3, ...). Rosnący ciąg {x„} okazuje się ograniczony z góry, a więc jest zbieżny do granicy skończonej

c = lim x„.

Podobnie dla malejącego ciągu {>’„} mamy

y„>x„^x_l ,

czyli również ten ciąg dąży do skończonej granicy

c' = lim y„ .

Ale na mocy twierdzenia 1°, [30] różnica obu granic

c'-c = lim(y„-x„),

z założenia równa jest zeru, więc c’ = c, cnd.

Udowodnionemu twierdzeniu można nadać inną postać, w której jest częściej stosowane. Nazwijmy przedziałem domkniętym <a, b} (gdzie a<b) zbiór wszystkich liczb (lub, jak mówimy, punktów) x spełniających nierówności

a<x<b.

Liczby (punkty) a i b nazywamy odpowiednio lewym i prawym końcem przedziału, a ich różnicę b—a długością przedziału. Łatwo zauważyć, że na osi liczbowej przedziałowi odpowiada odcinek (tej samej długości).

Będziemy mówili, że przedział <a', b'} zawiera się w przedziale <a, bj, jeżeli wszystkie punkty pierwszego przedziału należą do drugiego przedziału, czyli jeżeli

a^a'<b'^b .

Sens geometryczny tej definicji jest jasny.