305 2

305

7.6. Rachunek operatorów

l^rytmując

(7.6.3)

czyli

obie strony otrzymujemy równość

/iD=in{l    + hf\x)-W-łd³ + W³- .

Jest lo typowy przykład zdumiewających obliczeń, jakie można wykonywać na szeregach operatorowych. Aby sprawdzić poprawność lego wyniku, rozpatrzmy najpierw przypadek szczególny f(x)~c^ax, gdzie a jest dowolną liczbą (zespoloną). Wtedy

Z)/(x)=ot«;^a*=xf(x).

A^pf{x}**{e-l)^P)Xx).

■ i ₍-,^>- i

r-1    P    P

Jeśli |e*^ł—I|<1, to dla /*-*co prawa strona jest zbieżna do granicy ln(l -ł-e^aM-1)f(x) = ehoc*^x= hOf{x).

Wobec tego, jeśli l < I, ro wzór (7.6.3) dfc* funkcji f (*) =e^ar jest prawdziwy, czyli (7.6.4)    *lV^x=(zł-*d²+jM^,-...)e”

Udowodnimy też, że wzór (7.6.3) jest prawdziwy dla wszystkich wielomianów. W tym przypadku szereg po prawej stronie ma tylko skończenie wiele składników. Suma n początkowych składników tego szeregu daje wzór różniczkowania numerycznego dokładny dla wszystkich wielomianów n-tego stopnia. Jest to cłuirakferystyczne dla wzorów otrzymywanych nwtodą operatorową.

Rozwińmy teraz obie strony równości (7.6.4) względem potęg parametru ot i porównajmy współczynniki przy <x*ip\. Otrzymamy

^f7-⁶-⁵)    hDx’-Ul-łJ² + łJ*--..)x'    (P = 0, I .

(Można wykazać, że zmiana porządku sumowania nie stwarza istotnych trudności.) Tworząc kombinacje liniowe tych równości dla różnych p wykazujemy, jak zapowiedziano, ** wzór (7.6.3) jest prawdziwy' dla wszystkich wielomianów.

W istocie z (7.6.4) wynika prawdziwość rozwinięcia (7.6.3) dla wszystkich funkcji Postaci

/(*)=* Z ^c/CłplOjJc).    gdzie |exp(a_y/i)-1|< I.

I-o

z przykładu 7.6.1 można często zastosować do ustalenia istotnych związków w t7i °P^cratorami. Wiele użytecznych przykładów takich związków można znaleźć ’ ^ro*dz. 7. Zob. też zadania na końcu § 7.6.

RUm______