Untitled 24

37J

§ 3. Ciąg monotoniczny

67

Ciąg {>>„} jest .znacznie dogodniejszy dla przybliżonego obliczenia liczby e, niż {x„}. Oszacujemy różnicę y_n i e. W tym celu rozważmy z początku różnicę między dowolną wartością y_n+m (m = 1, 2, 3, ...) następującą po y_n a samym y„. Mamy

1 1 1

y„₊m-^-(^₁y_!+(_{n + 2)!} + -"+_{(n + m)!}-

i r i    i    ₊    i

(n + l)!(    n + 2 (n + 2)(n + 3) (n + 2)(n + 3)...(n + m)

Jeżeli w nawiasach sześciennych zastąpić wszystkie czynniki w mianownikach ułamków przez n + 2, to otrzymamy nierówność

i f_f 1 i    1

^y"⁺”^_y”<₍^+l)Tl^{1 +} ^⁺(n+2y ⁺ ''' ⁺ (M^

którą tylko wzmocnimy, zastępując nawias sumą postępu nieskończonego:

1 n + 2

kn + m    , \ < TT’

(n + 1): n + 1

Ustalając teraz n przejdźmy z m do nieskończoności; ciąg y_n+m (numerowany wskaźnikiem m) przyjmuje wartości

J’n+l>J^;H + 2»J^;n+3>    +    •••

jest on zbieżny oczywiście do e. Dlatego otrzymujemy w granicy

1 n + 2 ^e~^yn<(n +1)! n+I-¹

czyli

0<_c-,„<4⁽¹⁾.

n ! n

Jeżeli przez 0 oznaczymy stosunek różnicy e—y„ do liczby- (zawarty oczywiście

n! n

pomiędzy 0 i 1), to można napisać także

9

e-y_n=-7~¹ n ! n

Zastępując tu y_n jego rozwinięciem otrzymujemy ważny wzór:

(7)

111 10

^{C = 1 +} n⁺2! ⁺ 3] ⁺ -⁺-7\ ⁺ ńrn

n+2    1

(n+lf^<~n‘

5*

1

Jak łatwo sprawdzić