67
§ 3. Ciąg monotoniczny
Ciąg {y„} jest znacznie dogodniejszy dla przybliżonego obliczenia liczby e, niż {1„}. Oszacujemy różnicę i e. W tym celu rozważmy z początku różnicę między dowolną wartością y„+m (m = 1, 2, 3,...) następującą po yn a samymyn-Mamy
1
1
1
yn + m yn
(n + 1)! (n + 2)! (n + m)!
1
1 f 1
=-h+—
(n + 1)! ( n-t
- +
1
+ 2 (n + 2)(n + 3) (n + 2)(n + 3)...(n + nj)J
Jeżeli w nawiasach sześciennych zastąpić wszystkie czynniki w mianownikach ułamków przez n+2, to otrzymamy nierówność
i f i 1 1 )
którą tylko wzmocnimy, zastępując nawias sumą postępu nieskończonego:
1 n + 2
(n + 1)! n+1
Ustalając teraz n przejdźmy z w do nieskończoności; ciąg yn+m (numerowany wskaźnikiem m) przyjmuje wartości
y»+ l i yn + 2 > yn-ł 3 ’ 1 .Vn + m >
jest on zbieżny oczywiście do e. Dlatego otrzymujemy w granicy
1 n + 2
czyli
0<e—y„<
1 o
n in
1
Jeżeli przez 0 oznaczymy stosunek różnicy e—y„ do liczby —— (zawarty oczywiście pomiędzy 0 i 1), to można napisać także
0
e-y„=-
n !n
Zastępując tu y, jego rozwinięciem otrzymujemy ważny wzór :
/<1X 11110 (7) e = 1 +—+—+—+... +•—;.H—— >
1! 2! 3! n! n !n
5*
Jak łatwo sprawdzić —— • (n+1)2 n