0066

0066



67


§ 3. Ciąg monotoniczny

Ciąg {y„} jest znacznie dogodniejszy dla przybliżonego obliczenia liczby e, niż {1„}. Oszacujemy różnicę i e. W tym celu rozważmy z początku różnicę między dowolną wartością y„+m (m = 1, 2, 3,...) następującą po yn a samymyn-Mamy

1


1


1


yn + m yn


(n + 1)! (n + 2)! (n + m)!

1


1 f 1

=-h+—

(n + 1)! ( n-t


- +


+ ...+


1


+ 2 (n + 2)(n + 3)    (n + 2)(n + 3)...(n + nj)J

Jeżeli w nawiasach sześciennych zastąpić wszystkie czynniki w mianownikach ułamków przez n+2, to otrzymamy nierówność

i f i 1    1    )

+    2)2 + ... + (n + 2)m_1|,

którą tylko wzmocnimy, zastępując nawias sumą postępu nieskończonego:

1 n + 2


y„+m-y »<


(n + 1)! n+1


Ustalając teraz n przejdźmy z w do nieskończoności; ciąg yn+m (numerowany wskaźnikiem m) przyjmuje wartości

y»+ l i yn + 2 > yn-ł 3 ’    1 .Vn + m >

jest on zbieżny oczywiście do e. Dlatego otrzymujemy w granicy

1 n + 2

czyli


0<e—y„<


1 o

n in

1


Jeżeli przez 0 oznaczymy stosunek różnicy e—y„ do liczby —— (zawarty oczywiście pomiędzy 0 i 1), to można napisać także

0

e-y„=-


n !n

Zastępując tu y, jego rozwinięciem otrzymujemy ważny wzór :

/<1X 11110 (7)    e = 1 +—+—+—+... +•—;.H—— >

1! 2! 3! n! n !n

5*

1

Jak łatwo sprawdzić —— • (n+1)2 n


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Untitled 24 37J § 3. Ciąg monotoniczny 67 Ciąg {>>„} jest .znacznie dogodniejszy dla przybliżo
67 § 3. Ciąg monotoniczny Ciąg {y„} jest znacznie dogodniejszy dla przybliżonego obliczenia liczby e
67 § 3. Ciąg monotoniczny Ciąg {y„} jest znacznie dogodniejszy dla przybliżonego obliczenia liczby e
Untitled Scanned 07 (16) CIĄGI 9.    Ciąg (a,.-) określony jest wzorem an = 5n-4. Zna
177 2 3.4. Granica ciągu 177 Oznacza to, że ciąg (an) jest malejący. Wtedy dla każdego n e N mamy 0
P1100188 Wyniki otrzymuje się szybko, metoda jest nicdesiruktywna i dogodna dla muk iloki próbek i
CCF20121001004 Twierdzenia o ciągach Tw.l Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony. Tw.2. Ciąg mon
59549 Obraz8 (22) Zadania otwarte Zestaw XII 1. a) ciąg nie jest monotoniczny b) a7 = a8 = 3. 2c 50
img040 (39) 45 — ciąg iterowany (%))*= 1,2,... jest ciągiem monotonicznym i ograniczonym, a więc
skanuj0171 (12) 182_PHP i MySQL dla każdego Tabela 6.4. Znaczniki formatujące dla funkcji strflime
31. Ciąg ten jest zamknięty: A.    Dwustronnie nawiązany B.

więcej podobnych podstron