0066

67

§ 3. Ciąg monotoniczny

Ciąg {y„} jest znacznie dogodniejszy dla przybliżonego obliczenia liczby e, niż {¹„}. Oszacujemy różnicę i e. W tym celu rozważmy z początku różnicę między dowolną wartością y„_+m (m = 1, 2, 3,...) następującą po y_n a samymy_n-Mamy

1

1

1

yn + m yn

(n + 1)! (n + 2)! (n + m)!

1

1 f 1

=-h+—

(n + 1)! ( n-t

- +

+ ...+

1

+ 2 (n + 2)(n + 3)    (n + 2)(n + 3)...(n + nj)J

Jeżeli w nawiasach sześciennych zastąpić wszystkie czynniki w mianownikach ułamków przez n+2, to otrzymamy nierówność

i f i 1    1    )

+    ₂₎₂ + ... + _{(n +} 2)m_₁|,

którą tylko wzmocnimy, zastępując nawias sumą postępu nieskończonego:

1 n + 2

y„+_m-y »<

(n + 1)! n+1

Ustalając teraz n przejdźmy z w do nieskończoności; ciąg y_n+m (numerowany wskaźnikiem m) przyjmuje wartości

y»+ l i yn + 2 > yn-ł 3 ’    ¹ .Vn + m >

jest on zbieżny oczywiście do e. Dlatego otrzymujemy w granicy

1 n + 2

czyli

0<e—y„<

1 o

n in

1

Jeżeli przez 0 oznaczymy stosunek różnicy e—y„ do liczby —— (zawarty oczywiście pomiędzy 0 i 1), to można napisać także

0

e-y„=-

n !n

Zastępując tu y, jego rozwinięciem otrzymujemy ważny wzór :

_/<1X 11110 (7)    e = 1 +—+—+—+... +•—;.H—— >

1! 2! 3! n! n !n

5*

1

Jak łatwo sprawdzić —— • (n+1)² n