img040 (39)

45

— ciąg iterowany (%))*= 1,2,... jest ciągiem monotonicznym i ograniczonym, a więc zbież-

nym.

Granicą ciągu kolejnych przybliżeń jest pierwiastek x równania (3.1) w przedziale

la. b). Otrzymuje się przy tym następujące oszacowanie dla błędu w iteracji k + 1,

(3.35)

zdzie

Wadą metody reguła falsi jest jej stosunkowo wolna zbieżność. Jest to metoda zbieżna dniowo, a więc wolniej niż omawiana wcześniej metoda siecznych. Nie zawsze jest zbieżna. Istotną zaletą metody reguła falsi jest zbieżność otrzymywanych ciągów kolejnych przybliżeń dla szerokiej klasy równań rozważanych w twierdzeniu 3.1. Twierdzenie 3.1 ma charakter lokalny i odnosi się do pewnego otoczenia [a, ń] pierwiastka danego równania. Jeżeli dane równanie posiada wiele pierwiastków, należy dokonać weryfikacji założeń r.vierdzenia dla odpowiedniego otoczenia każdego z pierwiastków.

3.1.4. Metoda stycznych - metoda Newtona [6, 7, 8,19]

Metoda stycznych, lub inaczej - Newtona, jest najczęściej wykorzystywaną metodą -'yznaczania pierwiastków równań algebraicznych. Jest metodą iteracyjną, w której w każdym kroku iteracji funkcja/(-) występująca w danym równaniu (3.1) jest aproksymowana przez jej część afmiczną wyznaczoną w otoczeniu punktu otrzymanego w poprzedniej iteracji.

Niech funkcja/^) będzie dwukrotnie różniczkowalna i niech x₍, e R będzie ustalonym punktem. Korzystając ze wzoru Taylora otrzymuje się następujące przedstawienie dla funk-

cji/-)

o

(3.36)

gdzie r(x, x₀) jest resztą wzoru, która ma postać

(3.37)

gdzie 0 < © < 1 jest liczbą zależną od x [15, 24].

W metodzie stycznych (Newtona) przyjmuje się, że w otoczeniu punktu x₀, w którym poszukuje się pierwiastka danego równania (3.1) funkcję /(•) można z wystarczającą dokładnością przybliżyć funkcją

(3.38)