Untitled 20

35]

§ 3. Ciąg monotoniczny

63

Z tego równania kwadratowego znajdujemy

(3)    a = l+\/l^— c-

Widać stąd od razu, że ciąg {*„} nie może mieć skończonej granicy przy c>\.

a) Załóżmy z początku, że 0<c<l. Jasne jest, że wówczas x„>0. Odejmując od (1) stronami analogiczną równość:

c *Ll

X_n ~ i T"~ 5

znajdujemy, że

x_{n + 1}-x_n=-

2 2 X_n X_n_ i

Oczywiste jest, że x₂>*x =\c, a z poprzedniej równości wynika, że jeśli tylko x_n>x_n- _x, to i x_{n +}1>x_n. Tak więc metodą indukcji matematycznej ustalamy, że ciąg {*„} rośnie monotonicznie.

Podobnie pokazujemy, że ciąg {^„} jest ograniczony z góry

x_n<l.

Nierówność ta jest prawdziwa przy n — 1. Jeżeli jest spełniona przy ustalonym n, to jest słuszna i dla rt + 1 na mocy (1). Wynika stąd, że" granica (2) rzeczywiście istnieje, a więc wyraża się wzorem (3), i to ze znakiem minus przy pierwiastku, bo granica ta nie może być większa niż jedność, b) Niech teraz będzie — 3<c<0. Oczywiście dla wszystkich n

c

x„> ₂ •

Pokażemy, że w tym przypadku x_n<0. Jest tak przy n— 1; jeśli przyjąć słuszność tego twierdzenia przy ustalonym n, to

W<y> *n<y-<ic| ^ponieważ i ^_{n +} i jest tego znaku co jc, czyli ujemne.

Tym razem ciąg x„ nie jest ciągiem monotonicznym. Jeśli jednak przyjąć w (1), że n = 2k i 2k—2, a następnie n = 2k + l i 2k — \, i w obydwu przypadkach odjąć równości stronami, to otrzymujemy

X₂ k—X₂k-₂

X2k+ 1 —X₂k-1 ^:

(4)

X₂k+2~X₂k —

x₂k + i —X₂ k- 1

Stąd można wywnioskować przez indukcję, że zawsze

^x2k*i^>x₂k-i oraz x₂k + ₂<x₂k-

Rzeczywiście, x₃>x₁=^c, w takim razie |x₃|<|xi|, xl<x\ i z drugiego ze wzorów (4) (przy k = 1) mamy x₄<x_?. W takim razie |x₄|>|^₂|> x\>x\ i z pierwszego ze wzorów (4) (przy k = 2) otrzymujemy x_s>x₃, itd.

Tak więc, w rozważanym przypadku monotonicznymi ciągami są {x_2k-.i} oraz {^_2fc} (k — 1, 2, 3, ...); ponieważ wartości wyrazów tych ciągów są zawarte pomiędzy skończonymi krańcami j- c i 0, to oba mają granice skończone

a'—Yimx₂k~i, a”—\\n\x₂k.