0062

63

§ 3. Ciąg monotoniczny

Z tego równania kwadratowego znajdujemy

(3)    a=l + y/T—ć.

Widać stąd od razu, że ciąg {¹„} nie może mieć skończonej granicy przy Ol.

a) Załóżmy z początku, że 0<c<l. Jasne jest, że wówczas x„>0. Odejmując od (1) stronami analogiczną równość:

znajdujemy, że

2

x„_+i-x,

X„

1

Oczywiste jest, że x₂>Xi=^c, a z poprzedniej równości wynika, że jeśli tylko x„>x„-_It to i x„ ₊, > x„. Tak więc metodą indukcji matematycznej ustalamy, że ciąg {¹„} rośnie monotonicznie.

Podobnie pokazujemy, że ciąg {je„} jest ograniczony z góry

*»<1.

Nierówność ta jest prawdziwa przy n=1. Jeżeli jest spełniona przy ustalonym n, to jest słuszna i dla n+1 na mocy (1). Wynika stąd, że granica (2) rzeczywiście istnieje, a więc wyraża się wzorem (3), i to ze znakiem minus przy pierwiastku, bo granica ta nie może być większa niż jedność, b) Niech teraz będzie — 3<c<0. Oczywiście dla wszystkich n

c

Pokażemy, że w tym przypadku ¹„<0. Jest tak przy n= 1; jeśli przyjąć słuszność tego twierdzenia przy ustalonym n, to

|x„j<y,    x¹<y-<jc| ^ponieważ ~<lj-

i ¹„+1 jest tego znaku co ie, cżyli ujemne.

Tym razem ciąg x„ nie jest ciągiem monotonicznym. Jeśli jednak przyjąć w (1), że n — lk i 2k—2, a następnie n = 2k + l i 2k—l, i w obydwu przypadkach odjąć równości stronami, to otrzymujemy

xl_k~x\_k.

(4)

X2k + 2 X2k —

■¹2k+l^—^2¹-l

Stąd można wywnioskować przez indukcję, że zawsze

^24+1 -> X2k — 1    oraz    X2k + 2<X2k •

Rzeczywiście, x₃>Xi =\c, w takim razie |jc₃j<|jCi|, xl<x\ i z drugiego ze wzorów (4) (przy k=1) rańmy Xi<x₂. W takim razie |jc₄!> Jx₂j, xl>xl i z pierwszego ze wzorów (4) (przy k=2) otrzymujemy ¹5>x₃, itd.

Tak więc, w rozważanym przypadku monotonicznymi ciągami są    oraz {jc_2t} (k = 1, 2, 3,...);

ponieważ wartości wyrazów tych ciągów są zawarte pomiędzy skończonymi krańcami £c i 0, to oba mają granice skończone

a'=\imx2k-i, a"=lim¹z».

1

2fc+ 1 ~^x2k- 1--