chądzyński6

146 8. ODWZOROWANIA KONFOREMNE

jest konforemne i, w myśl zadania 2, dla. z € C mamy

g(z) — g{oo) + 1 /(az + b), gdzie a, b e C, a ^ 0, czyli g jest homografią.

To kończy rozwiązanie.    □

ROZDZIAŁ 9

Aproksymacja funkcjami wymiernymi

9.1. Małe twierdzenie Rungego

Zadanie 1. Niech a, b € K, n G No, 0 < b < a. Połóżmy K„ = {z G C : \z\ < n i Im z < 0}, K* = [z G C : \z\ < n i Im z > a}, — {z G C : \z\ < n i lmz = 6}. Pokazać, że istnieje wielomian P_n ,taki, że

(a)    | P_n (z)| < 1/n dla z G K\ U K²,

(b)    \P_n (z)j > n dla z € K\,

\.Rozwiązanie. Zbiór K_n — U K² U K_xl jest zwarty i nie rozcina płaszczyzny. Łatwo zauważyć, że istnieją obszary rozłączne G‘²n, jzawierające odpowiednio zbiory zwarte K}_x, K%, K?_t. Zbiór G_n — G^ln U \G‘iuG^ jest otwarty i K_n C G_n. Określmy w G_n funkcję holomorficzną \f_n wzorem

0 dla z G G]_x U G*n> n+£ dla z e G\.

fn (z) =

Zatem na mocy małego twierdzenia Rungego (wniosek 1.51.1) istnieje wielomian P_n taki, że

|/„ (z) - Pn (z)\ < 1/n dla z e K_n.

Stąd dla z G U Kj dostajemy (a.), a dla z G K\ dostajemy (b). i To kończy rozwiązanie.    □

'Zadanie 2. Pokazać, że istnieje ciąg wielomianów {Rn} taki, że

(a)    ciąg {R„} jest zbieżny do 0 w C,

(b)    ciąg {R_n} jest zbieżny niemal jednostajnie w C \ R,

(c)    dla x G K ciąg {P_n} nie jest zbieżny jednostajnie w żadnym otoczeniu punktu x.

Rozwiązanie. Weźmy dowolną liczbę naturalną n i połóżmy w zadaniu 1 a = 2/n, b — lfn. Wówczas na mocy tego zadania istnieje wielomian

147