str117 (5)

§11. ODWZOROWANIA KONFOREMNE 117

§11. ODWZOROWANIA KONFOREMNE 117

o pola elektrostatycznego wy-idnik ograniczony powierzchnią '_o>0. Przewód ten umieszczony

s a-²+(>’-3)²-5 = 0 i prostą

części urojonej w funkcji u'(z)

fy²-4y+4 f y²+4y+4

,v² + (y-3)²-5 = 0 w prostą a\tp(u,v) odwzorowanego pola i5 spełnia następujące warunki

V₀,

vimy część urojoną funkcji w (z), tu w rozważanym polu elektro-

t

Zadania do rozwiązania

1.    Znaleźć funkcję, która trójkąt prostokątny i równoramienny ABC o wierzchołkach Zj = (3+2/), z₂ = (7+2/), z₃ = (5 + 4/) odwzorowuje w trójkąt prostokątny i równoramienny OB_lC₁ o wierzchołkach >v_x = 0, w₂ = +2/, w₃ = (1+/) w ten sposób, że wierzchołki z_k przechodzą odpowiednio w wierzchołki w_k (/c = 1,2,3).

2.    Znaleźć przekształcenie homograficzne odwzorowujące okrąg (z) = 1 na oś rzeczywistą, aby punktom —/, 1, Z okręgu odpowiadały punkty —1, 0, 1 na osi.

3.    Znaleźć odwzorowanie konforemne górnej półpłaszczyzny na tę samą półpłaszczyznę przeprowadzające punkty oo, 0, 1 w punkty 0, 1, oo.

4.    Znaleźć funkcję w = /(z), która odwzorowuje konforemnie koło jednostkowe w siebie i taką, aby:

a)    /(*) = 0, Arg/'(jr) = i*,

b)    /(0) = 0, Arg/'(0) = -*TC.

5.    Znaleźć funkcję u-^- = /(z), która odwzorowuje konforemnie górną półpłaszczyznę w koło jednostkowe i taką, aby /(/) = 0, Arg/'(0 = 0.

z—1

6. Na jaki obszar w płaszczyźnie (w) odwzorowuje funkcja w =-- wnętrze koła

z +1

|Z| < 17

7.    Znaleźć funkcję, która odwzorowuje konforemnie całą płaszczyznę z wycięciem wzdłuż odcinka łączącego punkt z_k = i z punktem z₂ = 4/ w górną półpłaszczyznę.

8.    Znaleźć funkcję, która odwzorowuje konforemnie górną półpłaszczyznę pozbawioną odcinka <0, /a> w górną półpłaszczyznę.

9.    Z górnej półpłaszczyzny wycięto półkole |z|<I, lmz>0 i półprostą y>2, x = 0 (rys. 1.40). Znaleźć funkcję, która odwzorowuje konforemnie otrzymany obszar (zakresko-wany na rys. 1.40) na górną półpłaszczyznę.

Rys. 1.40

10. Znaleźć funkcję, która odwzorowuje konforemnie półkole |z|<l, lmz>0 na górną półpłaszczyznę.