mat
2

58 1. WIADOMOŚCI TEORETYCZNE. ZADANIA. PRZYKŁADY ROZWIĄZAŃ

1.5. Odwzorowania konforemne

Zbiory na płaszczyźnie domkniętej C. Każdy zbiór

{zeC: |z| > r A r > 0} u {co}    (1.5.1)

nazywamy otoczeniem punktu oo. Punkt z₀ e C (być może z₀ = oo) nazywamy punktem skupienia zbioru Z £ C, gdy w każdym sąsiedztwie punktu z₀ znajduje się punkt zbioru Z. Domknięcie Z zbioru Z jest to suma tego zbioru i zbioru wszystkich jego punktów skupienia. Punkt z₀eZ£ C nazywamy punktem wewnętrznym zbioru Z, gdy zawiera się w tym zbiorze pewne otoczenie tego punktu. Punkt z₀ e C nazywamy punktem brzegowym zbioru Z£ C, gdy w każdym otoczeniu tego punktu znajduje się punkt należący do Z i taki punkt, który do Z nie należy. Zbiór Zs C nazywamy zbiorem otwartym, gdy zawiera pewne otoczenie każdego swego punktu, natomiast zbiorem domkniętym, gdy Z = Z. Zbiór Z£ C nazywamy zbiorem spójnym, gdy nie jest on su-mąZ(UZ₂ zbiorów niepustych, rozłącznych i takich, że domknięcie każdego z tych zbiorów jest rozłączne z drugim zbiorem. Zbiór D £ C nazywamy obszarem, gdy jest otwarty i spójny. Zbiór wszystkich punktów brzegowych obszaru D nazywamy brzegiem tego obszaru. Obszar Dę C nazywamy obszarem jednospójnym, gdy jego brzeg jest zbiorem spójnym. Otoczenie (1.5.1), a także płaszczyzna domknięta C, są to obszary jednospójne.

Inwersja. Odwzorowanie z -*■ w = / (z), gdzie

(1.5.2)

/(*) = -, DI = C z

(1(0) = oo, /(oo) = 0) nazywamy inwersją. Dla ze C—{0} jest ono złożeniem

przekształcenia przez promienie odwrotne: w_y = —-₂-

z

oraz

symetrii względem osi rzeczywistej: w₂ = Wi

Rys. 1.5.1

(patrz rys. 1.5.1). Inwersja (1.5.2) jest odwzorowaniem różnowartościowym na płaszczyźnie domkniętej C, RI = C. Odwzorowanie /^-1 jest także inwersją.

Funkcję/, co £/>/= C, nazywamy holomorficzną na otoczeniu punktu oo, gdy funkcja

złożona fol [(fol) (z) = j jest holomorficzna na pewnym otoczeniu punktu O. Inwersja

jest holomorficzna na każdym otoczeniu punktu oo.

Zbiór L, oo e L, zawarty w pewnym otoczeniu punktu oo nazywamy lukiem gładkim, gdy L' = /(L) jest łukiem gładkim (OeI'c C).

Odwzorowanie konforemne. Niech L, i L₂ będą łukami gładkimi o wspólnym począt-!■ r₀e C. Kątem skierowanym k (z₀; L,, L₂) o wierzchołku z₀ nazywamy kąt, którego pierw-•łjrtn ramieniem jest styczna jednostronna do L,, drugim zaś styczna jednostronna do L₂ w punk-

«4« >₀ (patrz rys. 1.5.2). Niech Li i L₂ będą łukami gładkimi o wspólnym początku oo (tzn. luki /(£,) i I(L₂) mają wspólny początek O). Kątem skierowanym * (co;Z._i; L₂) o wierzchoł-1» oo nazywamy kąt -k (O;/(ii),/(i₂)) — patrz rys. 1.5.3.

Niech / oznacza odwzorowanie różnowartościowe obszaru D_t S C na obszar D₂ £ C • Ukie, że jeżeli L c D_t jest łukiem gładkim, to f(L) jest także lukiem gładkim. Odwzorowanie /: £>i --- D₂ nazywamy konforemnym, gdy

■k (,Zo\ Li, L₂) = k (f (,2o)',f    (L₂))

??»

każdego z₀e Di i dla każdych łuków gładkich L_u L₂ o wspólnym początku z₀ (patrz 1.5.4). Odwzorowanie konforemne / zachowuje kąt skierowany między każdymi dwoma unkami wyprowadzonymi z dowolnego punktu obszaru Di £ C.

Rys. 1.5.4

Twierdzenie 1. Jeżeli funkcja f jest różnowartoiciowa na obszarze Di £ C oraz jest ho-kmorficzna na tym obszarze z wyjątkiem, być może, jednego punktu, w którym ma biegun rzędu fterwszego, to Rf = D₂ jest obszarem (D₂ £ C) oraz odwzorowanie f: D_t —- D₂ jest konforemne, /tirli przy tym Di jest obszarem jednospójnym, to D₂jest także obszarem jednospójnym.