mat
4

62 I. WIADOMOŚCI TEORETYCZNE. ZADANIA. PRZYKŁADY ROZWIĄZAŃ

Na rysunku 1.5.7 zilustrowano to odwzorowanie w przypadku gdy a = — rc. Odwzorowaniem odwrotnym jest wówczas w z = In z (logarytm główny).

Odwzorowanie z -» w — z", n e N, jest różnowartościowe na obszarze (sektorze kątowym) jze C: 0 < arg z < —j i przekształca go konforemnie na półplaszczyznę {we C: Im w > 0}.

I    «J

Na rysunku 1.5.8 zilustrowano to odwzorowanie. Odwzorowaniem odwrotnym jest w -» z = = {[/„w (pierwiastek główny).

Rys. 1.5.8

Odwzorowanie (funkcja) Żukowskiego

z -» w = -i- ^z+ — j    dla ze C    (1.5.9)

(h> (0) = oo, w (oo) = oo) jest różnowartościowe na obszarze D <= C, gdy nie należą do niego takie dwa punkty z_lt z₂, że z, z₂ = 1. Funkcja (1.5.9) przekształca każdy taki obszar konforemnie na pewien obszar, w szczególności przekształca ona konforemnie koło |zl < 1 na obszar

Q = C — {w e C: — I < Re w < +1 a Im w = 0} oo e S2). Na rysunku 1.5.9 zilustrowano to odwzorowanie.

Rys. 1.5.9

Odwzorowanie z -*• w = sin z dla z e C jest różnowartościowe na obszarze Dc C, gdy dla każdych dwóch różnych punktów z,, z₂ e D oraz dla każdych liczb całkowitych m i rt, spełnione są warunki

Zi—z₂    2itm    oraz Zi + Z2 # jt+2jin    (1.5.10)

Funkcja sinus przekształca konforemnie każdy obszar, którego punkty spełniają warunki (1.5.10), na pewien obszar, w szczególności przekształca ona obszar {z e C: — jt < Rez < -f-jtAlmz>0} na obszar jaki otrzymamy usuwając z płaszczyzny C odcinek o końcach — 1 i 1 oraz półprostą (bez początku) z — it, t e ( — oo; 0). Odwzorowanie to zilustrowano na rys. 1.5.10. Odwzorowanie za pomocą funkcji sinus jest złożeniem czterech odwzorowań: obrotu w, = iz, odwzorowania w₂ = e^w‘, obrotu h>₃ = —iz oraz odwzorowania Żukowskiego w = y ^w₃+ j .

> 0}. Zbadać, jakie są obrazy w tym odwzorowaniu półkoli: K_t = {zeC: |z| < < 1 Alm z > 0} oraz K₂ = {z e C: |z| < 1 Alm z < 0}.

Rys. 1.5.10

Zadania

1. Odwzorować konforemnie koło \z\ < 1 na półpłaszczyznę {w e C: Im w >

Rozwiązanie. Skorzystamy z tw. 5. Rozwiązując równanie (1.5.7) wzglądem z, a następnie zastępując w przez z i na odwrót, otrzymamy dwuparametrową rodzinę homografii

w = ~^Z° *_ęUT° * gdzie 0 e R, z₀ e C i Im z₀ > 0

która przedstawia wszystkie i tylko te homografie, które odwzorowują koło |z| < 1 nn półpłaszczyznę {w e C: Im w > 0}. Możemy wybrać którąkolwiek homografię /. tej rodziny. Przyjmiemy na przykład 0 = 0 oraz z₀ = /. Stąd

w — —i

z + 1 z— 1

(1.5.11)

Zauważmy, że jeżeli punkt z obiega okrąg |z| = 1 w kierunku dodatnim, to jego obraz w

(ctg 0 = oo e C) przebiega półoś rzeczywistą uzupełnioną punktem oo, przy czym wobec (1.5.11) mamy w(l) = oo, w(i) = —1, w(-l) = 0 oraz w (—i) = 1 (patrz rys. 1.5.11). Jeżeli punkt z przebiega odcinek osi rzeczywistej od 1 do —1, to jego

Imz

oo

Imw,

(

Rys. 1.5.11