mat
7

68 . WIADOMOŚCI TEORETYCZNE. ZADANIA. PRZYKŁADY ROZWIĄZAŃ

)

Rys. 1.5.13

c

c

Imw

Irrmj

Re w z

Uwaga. Jeżeli pas P traktować jako podzbiór płaszczyzny domkniętej C, to punkt oo należy do brzegu tego pasa. Obrazem tego pasa w rzucie stereograficznym jest pewien trójkąt sferyczny.

4. Wyznaczyć homografię, która:

1° przekształca punkt 6 na punkt 0,

2° przekształca okrąg \z\ = 4 na ten sam okrąg,

3° przekształca punkt 2 w pewien punkt okręgu |w| = 16,

4° przekształca punkt 1 w punkt osi urojonej,

5° przekształca punkt 0 w punkt górnej płaszczyzny.

Dowieść, że istnieje dokładnie jedna taka homografia. Odwzorować za pomocą tej homografii okrąg \z\ = 2.

Rozwiązanie. Zakładamy, że istnieje homografia H

(1.5.18)

spełniająca warunki 1° — 5°. Z warunku 1° mamy 6a+b — 0 oraz 6c+d # 0 Stąd b = — 6a, więc

więc 8a + 3/? = 0

-10

(«?s0, ponieważ H jest homografią). Stąd fi = — — a, więc

H(z) =

3z—18

a (3z—8)

Uwzględniając warunek 3° otrzymujemy

I*®'-!?-¹*

więc |a| =

8

(1.5.20)

Ponieważ H (1) = — , więc z warunku 4° wynika, że a jest liczbą urojoną. Wobec a

(1.5.20) mamy: a = — — i albo a = — i. Stąd 8 8

H(ź) =

. 8z—48 ¹ 3z—8

. 8Z-48

albo Hfz) = -»    ■

W pierwszym przypadku mamy H (0) = 6i, w drugim zaś Hf0) = — 6i. Uwzględniając warunek 5° otrzymujemy ostatecznie 7. wyprowadzenia tego wzoru wynika, że jeżeli istnieje homografia H spełniają ui warunki 1°—5°, to jest postaci (1.5.20). Istnieje zatem co najwyżej jedna taka homografia. Aby dowieść, że istnieje dokładnie jedna taka homografia należy wykazać, że homografia H określona wzorem (1.5.21) spełnia warunki 1° —5° Warunek 1° jest oczywiście spełniony. Ponieważ punkty

Hf4) = -4i,    H(4i) = ~    + TJ* oraz //(-4) = 4i

nie leżą na linii prostej, więc (tw. 4) homografia H odwzorowuje okrąg \z\ = 4 na okrąg przechodzący przez te trzy punkty. Jest to ten sam okrąg, gdyż |//(4)| ~ » \H(4f)\ =    (—4)| = 4. Homografia (1.5.21) spełnia więc warunek 2°. Łatwe

sprawdzenie pozostałych trzech warunków pozostawiam Czytelnikowi. Tak więc, homografia (1.5.21) jest jedyną homografią spełniającą warunki 1° — 5°.

Ponieważ

Hf2) = 16/, H(2i) = -j + ~ i oraz    Hf-2) = ~i

więc na podstawie tw. 4 homografia (1.5.21) odwzorowuje okrąg \z\ = 2 na okrąg opisany na trójkącie ABC o wierzchołkach A = Hf2), B = H(2i), C = Hf—2).

Na rysunku 1.5.14 zilustrowano rozwiązane zadanie. Zachęcam Czytelnika do rachunkowego wyznaczenia promienia okręgu opisanego na trójkącie ABC oraz do obliczenia pola tego trójkąta.