mat
1

56 I. WIADOMOŚCI TEORETYCZNE. ZADANIA. PRZYKŁADY ROZWIĄZAŃ

Korzystając z (1.4.22), (1.4.24) oraz (1.4.25) możemy zapisać równość (1.4.21) następująco

R

/sin x

-dx = ni-I_r-I_R    (1.4.27)

X

r

Jeżeli r -* 0+, to wobec (1.4.23) J_r -*■ 0, więc prawa strona równości (1.4.27) dąży do ni I_R. Do tej samej granicy dąży zatem lewa strona tej równości, czyli

R

C sin* ,    . .

21 j ~^—dx = tti-Tr    (1.4.28)

o

Jeżeli R-y + co, to wobec (1.4.26) I_R —► 0, więc prawa strona równości (1.4.28) dąży do ni. Stąd

+ 00    +00

f sinx    .    .    . P sin a:    7t

2i J —-—dx = ni, więc ostatecznie J —-—dx = —

o    o

Wnioski. Z parzystości funkcji podcałkowej wynika, że

+ 00

/

sin x

dx = n

(1.4.29)

Ponadto, podstawiając u = ax, otrzymujemy dla każdego a e R — {0}

•Y 00

dx = n sgn a

/sin ax

x

Wzór ten jest także prawdziwy dla a = 0. Można z niego wyprowadzić wiele interesujących wniosków, na przykład

+ 00

. r sinajc —sinóx ,

-dx = n (sgn a - sgn b)

J    X

dla każdych a, be R. Zachęcam Czytelnika do zaznaczenia w układzie współrzędnych Oab wartości funkcji (a, b) -> u = /„_jfc. Czy jest to funkcja ograniczona? Czy jest ciągła?

Uwaga. Całka

+ oo

f -£2Ł2-dx

J    X

jest rozbieżna. Wynika to (dlaczego?) z następującego rachunku: niech 0 < e < —

f S2ŁJL_dx> f dx_ ₌ ^ fmJL-in _e)_₊₍

J x    J 2x 2 \    3    / _t-.₀ +

Istnieje natomiast część główna całki w sensie Cauchy’ego (vałeur principale de Cauchy — skrót v.p.). Ola każdego a > 0 mamy bowiem (0 < e < a < R)

v.p. T ^-dx = lim ( f *-«“*_dx+ f-™*-dx) +

J X « ,-,0+ \ J X    J X /

- co    -a    I

+ lim ( f -^c°* -dx+ f -^cos * dx) = lim 0+ lim 0 = 0

R-. + 0O \_J_r X    J X    ]    Z-.0 +    R- + oo

ponieważ funkcja podcałkowa jest nieparzysta. Z równości (1.4.29) wynika oczywiście, że ^- dx = lim f    dx = k

X    « *-, + *, J_r X

Zadania do samodzielnego rozwiązania

6. Obliczyć całkę

'•■•-/mTO 6u <^uj0>

— CO

metodą residuów oraz metodą klasyczną opartą na definicji całki niewłaściwej. Wyznaczyć i narysować zbiór wszystkich par (a, b), 0 < a < b, dla których spełniona jest nierówność I_{a b} < n.

7. Obliczyć całkę 2*

/ = J e^{sln x} dx

o

a) metodą residuów, b) korzystając z wartości całki (1.4.17).

8. Obliczyć całkę

sin z

|z + t| = l (1+z²)

9. Obliczyć całki

a) I_t = z e" ctg z dz, b) I₂ =    <£ z e¹"¹ ctg z dz

|z| = 4    1*1=4

gdzie n e N. Udowodnić, że dla każdego n e N |/j| < 2tc² e"”

10. Obliczyć całkę

2n

I - f cos (sin x) dx o