mat
1

56 I. WIADOMOŚCI TEORETYCZNE. ZADANIA. PRZYKŁADY ROZWIĄZAŃ

Korzystając z (1.4.22), (1.4.24) oraz (1.4.25) możemy zapisać równość (1.4.21) następująco

K

f sinx _r . „

2i J —— dx = ki - I_r - I_R    (1.4.27)

r

Jeżeli r -> 0+, to wobec (1.4.23) I_r -* 0, więc prawa strona równości (1.4.27) dąży do ni—J_R. Do tej samej granicy dąży zatem lewa strona tej równości, czyli

R

f sin* ,    . „

21 J —~^dx = ™-Ir    (1.4.28)

o

Jeżeli R -* +co, to wobec (1.4.26) I_R -> 0, więc prawa strona równości (1.4.28) dąży do ni. Stąd

+ oo    +oo

. f sinx    .    .    r sin a: , n

2i J —-—dx = ni, więc ostatecznie J ---dx = —

o    o

Wnioski. Z parzystości funkcji podcałkowej wynika, że

+ 00

/

sin x

dx = n

(1.4.29)

Ponadto, podstawiając u = ax, otrzymujemy dla każdego ae R — {0}

+ 00

/sin ax ,

-——— dx — n sgn a

Wzór ten jest także prawdziwy dla a - 0. Można z niego wyprowadzić wiele interesujących wniosków, na przykład

+ 00

_r f sinax — sin óx .

I„,b = I---dx - n (sgn a — sgn b)

dla każdych a, be R. Zachęcam Czytelnika do zaznaczenia w układzie współrzędnych Oab wartości funkcji (a, b) -* u = I„_ib. Czy jest to funkcja ograniczona? Czy jest ciągła?

Uwaga. Całka

+ co

/

dx

COS X

jest rozbieżna. Wynika to (dlaczego?) z następującego rachunku: niech 0 < * < -y

00

^J x    J 2x 2 \    3    / £—»o +

Istnieje natomiast częićgłówna całki w sensie Cauchy’ego (valeur principale de Cauchy — skrót v.p.). Dla każdego a > 0 mamy bowiem (0 < e < a < R)

v.p. 7    lim ( ™L!Ldx+ fJS2LŁ_<l«\ ₊

j X df £-.0 + \ J X    J X J

— oo    —    «    e

+ lim ( f“-S°L*.dx+ f-™±dx) = lim 0 + lim 0 = 0

jR“* + oo \ *^    ^    a ^    8~*0+    K-* + co

ponieważ funkcja podcałkowa jest nieparzysta. Z równości (1.4.29) wynika oczywiście, że

+ oo    +R

C    sin x ,    f    sin x ,

v.p. I -dx — lim I -dx = k

J x ^df R- + oo    x

/udania do samodzielnego rozwiązania

6. Obliczyć całkę

^dla *<<'<*

— 00

metodą residuów oraz metodą klasyczną opartą na definicji całki niewłaściwej. Wyznaczyć i narysować zbiór wszystkich par (a, b),0 < a < b, dla których spełniona jest nierówność I_{a b} < 7t.

7. Obliczyć całkę 2%

I = j e^5,n * dx o

a) metodą residuów, b) korzystając z wartości całki (1.4.17).

8. Obliczyć całkę

dz

sin z

|*+M = i (1+z²)²

9. Obliczyć całki

a) I_t — fi z e^nI ctg z dz,    b)/₂ = £ z e^,ni ctg z dz

|r| = 4    1*1=4

gdzie n e N. Udowodnić, że dla każdego n e N |/j| < 2tc² e"*

10. Obliczyć całkę

2n

I — J cos (sin x) dx

Q