mat
8

70 J. WIADOMOŚCI TEORETYCZNE. ZADANIA. PRZYKŁADY ROZWIĄZAŃ

Uwaga. Jeżeli warunki 3°-5° zastąpić następującymi dwoma warunkami: 3° przekształca okrąg |z| = 2 na prostą równoległą do osi rzeczywistej uzupełnioną punktem oo, 4° punkt H( 1) należy do górnej pólpłaszczyzny, to homografia (1.5.18) spełniająca warunki l°-4° nie istnieje.) Można natomiast udowodnić, że istnieje co najwyżej jedna taka homografia, a mianowicie homografia (1.5.21). Nie spełnia ona jednak warunku 3°. Zachęcam Czytelnika do wykonania szczegółowo odpowiednich, bardzo pouczających rachunków. Pisząc mianowicie równanie prostej, o której mowa w warunku 3°, w postaci

w = u+ip, ps R, — oo < « < +oo    (1.5.22)

2

można skorzystać z faktów, że punkty 6 i — są symetryczne względem okręgu |z| = 2, punkty 0 oraz 2pi są symetryczne względem prostej (1.5.22) oraz H(6) = 0, co prowadzi do wniosku.

czyli 3api = 4. Stąd Rca = 0. Ponadto \H(4)| = 4, więc 8|a| = 3. Korzystając

z warunku 4° otrzymujemy ot = — — i, co w konsekwencji daje wzór (1.5.21).

O

S.Odwzorować konforemnie obszar

S = {ze C: \z— 1 j < s/2a Re z < 0}

(soczewka płasko-wypukła) na górną półpłaszczyznę tak, aby obrazem punktu 0 był ten sam punkt.

Rozwiązanie. Brzeg obszaru 5 składa się z łuku okręgu oraz odcinka AB (patrz rys. 1.5.15). Odwzorujemy ten obszar za pomocą homografii

w i =

z—i z+i

(1.5.23)

Ponieważ u'₁(/) = 0, Wj(0) = — 1 oraz w_Y(—i) = oo, więc (tw. 4) obrazem odcin-U AB w odwzorowaniu (1.5.23) jest półprosta (ze C: Im z = 0 a Re z < 0} uzupełniona punktem oo. Łuk AB okręgu |z— 1| = sfl przecina oś rzeczywistą w- punk-mc 1— \ll. Ponieważ

w_l(l-V2) = ^(-l + 0

więc (tw. 4) obrazem luku AB w odwzorowaniu (1.5.23) jest półprosta o początku

3

a punkcie 0 nachylona do osi rzeczywistej pod kątem — n, uzupełniona punktem oo.

4

Obrazem obszaru S w odwzorowaniu (1.5.23) jest zatem sektor kątowy Si = |ze C: ^-7t < arg z < 7t

Dokonujemy następnie obrotu o kąt

(-i”)

wokół punktu 0

w-

= — ie ⁴

•w,

Obrazem obszaru w tym odwzorowaniu jest sektor kątowy