mat
9

72 1. WIADOMOŚCI TEORETYCZNE. ZADANIA. PRZYKŁADY ROZWIĄZAŃ

Odwzorowanie w₃ = w\ przekształca ten sektor na górną półpłaszczyznę. Ponieważ w^O) = — 1, a ponadto

72 1. WIADOMOŚCI TEORETYCZNE. ZADANIA. PRZYKŁADY ROZWIĄZAŃ

w₂(-1) =

+ i-

oraz

więc należy jeszcze dokonać przesunięcia w = vv₃ +1. Szukane odwzorowanie wyznaczamy następująco

w = w₃ + l = w₂+l = e^-iV₃ + l Ostatecznie

w =

8i'z (z² — 1)

0+0*

Odwzorowanie to jest konforemne, bo takie jest każde z czterech odwzorowań składowych. Odwzorowanie obszaru S na górną półpłaszczyznę zilustrowano na-rys. 1.5.15.

Uwaga. Homografia (1.5.23) ma w punkcie z = i pochodną

^-(0 = dz

2 i

(z+D²

więc arg -4¹ (/) = — ~ . Zgodnie z interpretacją geometryczną argumentu pochodnej f'(z₀)

przedstawioną na rys. 1.5.5, wektor styczny do okręgu |z — 11 = V2 w punkcie A (patrz rys. 1.5.15) i wektor AB doznają — po odwzorowaniu ich wspólnego początku A w punkt 0 — jednakowego

obrotu o kąt ^——j . Na skutek tego kąt między tymi wektorami [— nie zmienia się, co

jest cechą charakterystyczną odwzorowań konforemnych. Obrazy powyższych dwóch wektorów wyznaczają półproste ograniczające obszar Sj.

Zadania do samodzielnego rozwiązania

6.    Odwzorować linię L = {zeC: |z| = 2 |z+2|} za pomocą inwersji.

(1.5.24)

7.    Odwzorować półpłaszczyznę {z e C: Im z > 0} za pomocą funkcji z—i

w =

z+i

Wyznaczyć obraz prostej Im z = lw tym odwzorowaniu. Zilustrować to odwzorowa* nie na rysunku.

8. Odwzorować obszar D = {ze C: — tt < Rez < 7ca0 < Imz < l}za pomocą funkcji

w = sin z

(1.5.25)

Wyznaczyć obraz punktu y i w tym odwzorowaniu. Rozwiązanie zilustrować rysunkiem.

9. Odwzorować obszar

D =

TC _    7t    „

— < Re z < y a Im z > 0

}

1.1 pomocą funkcji z -» w = cos z

(1.5.26)

10.    Odwzorować konforemnie obszar D = jz e C: 0 < Re z < yj

n.i koło |w| < 1 bez odcinka o końcach —1 i 0.

11.    Odwzorować konforemnie obszar

O = {zeC: |z| > 1} —{ze C: Re z < — 1 a Im z = 0} nn półpłaszczyznę {w e C: Re w > 0} oraz zilustrować to odwzorowanie na rysunku.

12.    Wyznaczyć homografię H, która:

1° przekształca okrąg |z| = 1 na okrąg |h>+ 1| = 1,

2° przekształca punkt 0 w punkt — ~,

3° przekształca punkt 1 w punkt 0.

Zilustrować to odwzorowanie na rysunku.

13. Wyznaczyć taką homografię H, która spełnia trzy warunki: 77(1) = 0, W (2) = oo, 77(3) = 1. Odwzorować za pomocą tej homografii prostą L: z = * (l+/)f, —oo < t < +oo. Narysować linię H(L).

14. Wyznaczyć homografię 77, która przekształca punkt 1 na punkt 3, punkt 2 ten sam punkt oraz punkt 3 na punkt 1. Zilustrować to odwzorowanie na rysun-|u. Wyznaczyć i narysować obraz okręgu |z| = 1 w tym odwzorowaniu.

15. Odwzorować konforemnie koło \z\ < 1 na koło |w| < 2 tak, żeby obra-lu mi punktów 0 i y były odpowiednio punkty 1 i 0. Wyznaczyć i narysować obraz

2“

. ST*

n-tym wyrazem t< _n ^    \2,\

Ciągi    6-

Funkcję/: N •    ^ ^    ^ I

« *= 1, 2.....to ci

, U U

+ l _c*Cu^ 'lr~

=-