mat
6

66

I. WIADOMOŚCI TEORETYCZNE. ZADANIA. PRZYKŁADY ROZWIĄZAŃ

Łuk ten jest półokręgiem o środku S w punkcie i

2e

e²+l e² — 1

oraz o promieniu R —

e²— 1

■. Punkt

w* =

2e . e² — 1

+i-

e² + l e²+l jest obrazem środka odcinka L, punkty zaś

a = i

. e + 1

e— 1

oraz p = i

e— 1 e +1

są obrazami jego końców. Zachęcam Czytelnika do sprawdzenia, że punkt S jest jednakowo odległy od punktów <x, w* oraz fi (odległość wynosi R). Pólokrąg ctw* fi ma równania parametryczne

Re vv₃ = R sin t

Im h’₃ =

+ R cos t

e² + l „    0<r<7t

e² — 1

a zatem ma on równanie zespolone

/ e² +1    \

w₃ = Rsint + il - ₂-_ +Rcos t I

czyli

w₃ =

1

e² —1

[2esin/+/(e² + l + 2ecost)], 0<f <rr

To równanie jest prostsze niż równanie (1.5.17). Ponieważ ostatnim z odwzorowań składowych jest w = vv|, więc obraz odcinka L w przekształceniu (1.5.14) ma równania parametryczne

u =

1

(_eż — i)ż~    ^s'ⁿ² *~(e² +1 +2e cos f)²]

4e

v =

^₂ _ ^₂ sin t (e² +1 + 2e cos t) gdzie u — Re w, v = Im w.

3. Odwzorować pas

P = j z e C: 0 < Re z < y

za pomocą funkcji z -* w = cos z. Sprawdzić, że jest to odwzorowanie konforemne. Rozwiązanie. Ponieważ cos z

dla zeC, więc odwzorowanie w = cos z jest złożeniem trzech odwzorowań:

odwzorowania wykładniczego w₂ = e^w«

■ >raz

odwzorowania Żukowskiego w = — ( w₂ Ą—— )

2 V w₂J

hcrwsze z tych odwzorowań jest konforemne na całej płaszczyźnie C i przekształca I uis P na pas

Odwzorowanie wykładnicze jest różnowartościowe na pasie P_t (patrz rys. 1.5.7) ' przekształca go konforemnie na pierwszą ćwiartkę płaszczyzny. Odwzorowanie •'ukowskiego (1.5.9) jest różnowartościowe na pierwszej ćwiartce płaszczyzny, ponieważ nie należą do niej punkty w'₂, w” takie, że w'₂ w₂ = 1. Przekształca ono konfo-■rmnie tę ćwiartkę płaszczyzny na pewien obszar Q c C. Wyznaczymy brzeg tego dszaru, jako obraz brzegu pierwszej ćwiartki płaszczyzny. Jeżeli w₂ = Re h>₂ = u > 0, przy czym u rośnie od 0 do + oo, to

mleje od + oo do 1, a następnie rośnie od 1 do +00. Ponadto w (0) = 00. Obra-cm półprostej L_t = {w₂eC: 0 < Re w₂ < + 00 a Im w₂ — 0} jest więc półpro-*tu L₂ = {w e C: 1 < Re w < + 00 a Im w = 0} uzupełniona punktem 00. Zwracam

•    wagę, że każdemu punktowi prostej L₂ (z wyjątkiem punktu 1) odpowiadają do-

*    ładnie dwa różne punkty prostej L_x. Jeżeli w₂ — iv, v > 0 oraz v rośnie od 0 do + co, 1 Re w = 0 oraz

>snie od —00 do +00. Obrazem zbioru {w₂ e C: Re w₂ = 0 a Im vv₂ >0} jest więc urojona na płaszczyźnie C zmiennej w. Funkcja z -> w = cos z odwzorowuje za-m konforemnie pas P na obszar

Q = {w e C: Re w > 0}—L₂

iw/cg tego obszaru składa się z osi urojonej, półprostej L₂ oraz zbioru {00}. Brzeg n jest spójny na płaszczyźnie domkniętej C (proszę sobie wyobrazić obraz tego r/egu w rzucie stereograficznym, na sferze Riemanna). Obszar Q jest jednospójny zarówno na płaszczyźnie C, jak i na płaszczyźnie domkniętej C. Odwzorowanie zba-mc w tym zadaniu zilustrowano na rys. 1.5.13.