mat
4

62 1. WIADOMOŚCI TEORETYCZNE. ZADANIA. PRZYKŁADY ROZWIĄZAŃ

Na rysunku 1.5.7 zilustrowano to odwzorowanie w przypadku gdy a = —n. Odwzorowaniem odwrotnym jest wówczas w -* z = In z (logarytm główny).

Odwzorowanie z -* w = z", n e N, jest równowartościowe na obszarze (sektorze kątowym)

(    n I

|zs C: 0 < argz < —} i przekształca go konforemnie na półplaszczyznę {w e C: Im w > 0}. I    «I

Na rysunku 1.5.8 zilustrowano to odwzorowanie. Odwzorowaniem odwrotnym jest w -* z = = V₀h- (pierwiastek główny).

Odwzorowanie (funkcja) Żukowskiego

z -» w = -i- ^z+ — j dla ze C    (1.5.9)

(w(0) = oo, w (co) = oc) jest równowartościowe na obszarze D <= C, gdy nie należą do niego takie dwa punkty z_lt z₂, że Zj z₂ = 1. Funkcja (1.5.9) przekształca każdy taki obszar konforemnie na pewien obszar, w szczególności przekształca ona konforemnie koło |z| < 1 na obszar

12 = C - (w e C: -1 < Rew< +lAlmit' = 0} oo e Q). Na rysunku 1.5.9 zilustrowano to odwzorowanie.

Rys. 1.5.9

Odwzorowanie z -» w = sin z dla z e C jest różnowartościowe na obszarze D <= C, gdy dla każdych dwóch różnych punktów z_u z₂e D oraz dla każdych liczb całkowitych min, spełnione są warunki

Zi — Zi # 2itm    oraz z_t + z₂ & it+2nn    (1.5.10)

Funkcja sinus przekształca konforemnie każdy obszar, którego punkty spełniają warunki (1.5.10), na pewien obszar, w szczególności przekształca ona obszar {z e C: — jr < Re z < łnAlmz > 0} na obszar jaki otrzymamy usuwając z płaszczyzny C odcinek o końcach — 1 i 1 oraz półprostą (bez początku) z = U, t e ( — oo; 0). Odwzorowanie to zilustrowano na rys. 1.5.10. Odwzorowanie za pomocą funkcji sinus jest złożeniem czterech odwzorowań: obrotu w, = iz, odwzorowania w₂ = e^w‘, obrotu w, = —iz oraz odwzorowania Żukowskiego w = y    j .

Zadania

1. Odwzorować konforemnie koło |z| < 1 na półplaszczyznę {w e C: Im w > > 0}. Zbadać, jakie są obrazy w tym odwzorowaniu półkoli: K_t = {zeC: |z| < < 1 a Im z > 0} oraz K_z = [z e C: |z| < 1 a Im z < 0}.

Rozwiązanie. Skorzystamy z tw. 5. Rozwiązując równanie (1.5.7) wzglądem z, a następnie zastępując w przez z i na odwrót, otrzymamy dwuparametrową rodzinę homografii

2 2_Q^z

w =    , gdzie 0 e R, z₀ e C i Im z₀ > 0

z—e

która przedstawia wszystkie i tylko te homografie, które odwzorowują koło |z| < 1 mi półplaszczyznę (weC: Im w > 0}. Możemy wybrać którąkolwiek homografię / tej rodziny. Przyjmiemy na przykład 0 = 0 oraz z₀ = i. Stąd

C

Re w

-Jl    U    j «;

Rys. 1.5.10

(1.5.11)

Zauważmy, że jeżeli punkt z obiega okrąg |z| = 1 w kierunku dodatnim, to jego i>braz w

(ctgO = oo eC) przebiega półoś rzeczywistą uzupełnioną punktem oo, przy czym wobec (1.5.11) mamy w(l) = oo, w (i) = —1, u> (— 1) = 0 oraz w (—i) = 1 (patrz rys. 1.5.11). Jeżeli punkt z przebiega odcinek osi rzeczywistej od 1 do —1, to jego

Imz

oo

Imw,,

(

Rys. 1.5.11