mat
0

54 1. WIADOMOŚCI TEORETYCZNE. ZADANIA. PRZYKŁADY ROZWIĄZAŃ

przy czym

A    ¹ l ¹ i -    ¹    ■    ¹    •    ¹

4³(3!)^{2 +} 4⁴(4!)^{2 +}    4³-4^{2 +} 4⁴-4²-4^{2 +} 4⁵-4²-4^{4 +    _}

⁼ 4*" (^{J +} 64 ⁺ 64^{r +} •") ⁼ 16-63 ⁼ 1608~ ^{< 0,001}

Ponieważ 2it-1,265625 = 7,952 [+0,001] oraz 2% A < 0,007, więc ostatecznie I = = 7,952 [+0,008], zgodnie z żądaną w zadaniu dokładnością. Zachęcam Czytelnika do sporządzenia wykresu funkcji podcałkowej w całce (1.4.171, narysowania wielo-

boku OABCDEF, gdzie O (0, 0), A (0, e), B , lj , c(rc, ij.

E (2it, e) i F (2n, 0), a następnie do obliczenia w sposób elementarny pola tego wielo-boku. Jest ono równe w przybliżeniu całce (1.4.17). Jaka jest dokładność tego przybliżenia?

5. Obliczyć

/= J    (1.4.19)

O

Rozwiązanie. Wprowadzamy funkcję pomocniczą /, gdzie /(*) = -£’ zeC

(/ (0) = oo) i zbadamy jej całkę po kawałkami gładkiej krzywej Jordana składającej się z dwóch odcinków i dwóch półokręgów (rys. 1.4.3, 0 < r < 1 < R). Funkcja/

jest holomorficzna na obszarze C-{0) i ma w punkcie 0 biegun rzędu pierwszego. Ponieważ

e

Iz

z

7+ *(*).

gdzie <P (z) — i—

(1.4.20)

więc res₀/(z) = 1. Na podstawie tw. całkowego o residuach otrzymujemy

(1.4.21)

f —dx+ f — dz+ ( — dx+ f — dz = 2 ni J X    J Z    J X    J z

Funkcja <P jest holomorficzna na całej płaszczyźnie C, a więc jest ciągła. Istnieje Wtem taka liczba M > 0, źe |$ (z)| < M dla każdego ze {ze C: |z| < 1}. Podsta-wiując z = re“ , — jc < t < 0 otrzymujemy

Tli

więc wobec (1.4.20)

J~~dz = ni+ j $ (z) dz = ni+I_r

^Kr ^    ^Kr

przy czym na podstawie tw. o module całki \J_r\ < Mnr Mamy następnie

f —dx = f — dx= - f -J X    J X    J

(1.4.22)

(1.4.23)

dx

-R

więc

^C“(1.4.24)

-R    r    r    r

Podstawiając z = Re^!f, 0 < t < jr, otrzymujemy

(1.4.25)

^{Ir =} f^Ir^{dz = i}f⁽

więc

\I_R\ < / e~^R,la,dt = 2 J e~^R*'^ntdt,

o    o

(sin t — sin (rc — f))

Ponieważ sin t > — t dla 0 < t < — (proszę o wykonanie odpowiedniego rysun-n    2

ku), zatem

r

2 _2R    O

(1.4.26)