mat
5

64 . WIADOMOŚCI TEORETYCZNE. ZADANIA. PRZYKŁADY ROZWIĄZAŃ

obraz w przebiega dodatnią półoś urojoną uzupełnioną punktem oo, przy czym w (1) = co, w (0) = / oraz w (— 1) = 0. Obrazem półkola A", jest więc druga ćwiartka płaszczyzny: {we C: Re w < OAlm w > 0), obrazem zaś półkola K₂ jest pierwsza ćwiartka płaszczyzny.

2. Odwzorować konforemnie pas i¹= {zeC: Re z > 0 a0 < Im z < it}

na półpłaszczyznę {we C: Im w > 0}. Zbadać, jaki jest obraz odcinka L = {z e C: Rez = 1 a0 < Im z < 7t} w tym odwzorowaniu.

Rozwiązanie. Odwzorowanie z -¹ w, = e^: jest różnowartościowe na pasie P i odwzorowuje go konforemnie na obszar

{w_t e C: IwJ > 1 Alm w_t > 0}    (1.5.12)

(patrz rys. 1.5.7). Inwersja Wj -» w₂ = —— (różnowartościowa na C) odwzorowuje

w_t

konforemnie obszar (1.5.12) na obszar

(1.5.13)

w₃ = -i

{w₂ e C: 1 w₂| < 1 a Im w₂ <0} (patrz rys. 1.5.1). Homografia w₂ +1

w₂-l

(por. wzór (1.5.11)) odwzorowuje konforemnie obszar (1.5.13) — patrz rys. 1.5.11 — na pierwszą ćwiartkę płaszczyzny. Funkcja w₃ -» w = w| odwzorowuje konforemnie pierwszą ćwiartkę płaszczyzny na górną półpłaszczyznę (patrz rys. 1.5.8). Szukanym odwzorowaniem konforemnym/jest więc złożenie czterech powyższych odwzorowań. Stąd

więc ostatecznie

(1.5.14)

Na rysunku 1.5.12 zilustrowano to odwzorowanie.

Uwaga. Odwzorowanie (1.5.14) nie jest oczywiście jedynym odwzorowaniem konforemnym pasa P na górną półpłaszczyznę. Po odwzorowaniu w₂ możemy np. dokonać odwzorowania wś = — w₂, które przekształca konforemnie półkole (1.5.13) na półkole K₂ (patrz rys. 1.5.11), a następnie możemy dokonać kolejnych trzech odwzorowań

= — i—w, = —iw4    oraz h> = (h>J)²

Wj-I

Każde z nich jest odwzorowaniem konforemnym. Pierwsze (w{) przekształca półkole Aj na drugą

wiartkę płaszczyzny, drugie przekształca ją na pierwszą ćwiartkę płaszczyzny, trzecie zaś prze-kutałca tę ostatnią na górną półpłaszczyznę, przy czym ¹

Kys. 1.5.12

z

w --

(1.5.15)

' nlwzorowania konforemne (1.5.14) oraz (1.5.15) pasa P na górną półpłaszczyznę są różne, /.ichęcam Czytelnika do zilustrowania odwzorowania (1.5.15) na wzór rys. 1.5.12. Zauważmy,

,•    = — 1. Ponieważ odwzorowanie w = przekształca górną półpłaszczyznę na nią samą,

* ięc upewniamy się w przekonaniu, że zarówno rozwiązanie (1.5.14) jak i (1.5.15) są prawidłowe.

Obraz odcinka I = {zeC: Re z = I a0 < Im z < 7t} w odwzorowaniu 11.5.14), a także po kolejnych odwzorowaniach składowych, przedstawiono na tvs. 1.5.12. Po drugim z kolei odwzorowaniu (inwersji) obrazem tego odcinka jest ,'ółokrąg o równaniu

(1.5.16)

I rzecie odwzorowanie sldadowe jest homografią, więc przekształca ono półokrąg 11.5.16) na łuk okręgu (por. tw. 4) o równaniu

w₃ =

— 2e sin ę

+ x

e² — 1

e² +1—2e cos <p e² +1 —2e cos (p ’

(1.5.17)

Matematyka...

1

lęc szukanym odwzorowaniem jest także