mat
0

54 1. WIADOMOŚCI TEORETYCZNE. ZADANIA. PRZYKŁADY ROZWIĄZAŃ

przy czym A =

1

43(3 !)₂

4⁴(4!)² 1

+ ... <

1

1

₄3.₄2

1 , 1 , 1 , ^ 1 4^S \¹⁺ 64 ⁺ 64^{2 +} "7 ~ 16-63

44.42.42 1

1008

45.42.44

< 0,001

+ ... =

Ponieważ 2re-1,265625 = 7,952 [+0,001] oraz 2n A < 0,007, więc ostatecznie I = = 7,952 [+0,008], zgodnie z żądaną w zadaniu dokładnością. Zachęcam Czytelnika do sporządzenia wykresu funkcji podcałkowej w całce (1.4.17*, narysowania wielo-

boku OABCDEF, gdzie O (0, 0), A (0, e), B 1^ , C^ir,    1^),

E (2ir, e) i F (2it, 0), a następnie do obliczenia w sposób elementarny pola tego wielo-boku. Jest ono równe w przybliżeniu całce (1.4.17). Jaka jest dokładność tego przybliżenia?

5. Obliczyć

+ 00

sin x

dx

(1.4.19)

Rozwiązanie. Wprowadzamy funkcję pomocniczą /, gdzie

~tz

ze C

/(z) =

(f (0) = 00) i zbadamy jej całkę po kawałkami gładkiej krzywej Jordana składającej się z dwóch odcinków i dwóch półokręgów (rys. 1.4.3, 0 < r < 1 < R). Funkcja/

Rys. 1.4.3

jest holomorficzna na obszarze C —{0} i ma w punkcie 0 biegun rzędu pierwszego. Ponieważ

-Ir

1

Z IZ

-= — + <i> (z), gdzie $ (z) = i- — - -jp + ...

Z

(1.4.20)

więc res₀/(z) = 1. Na podstawie tw. całkowego o residuach otrzymujemy

(1.4.21)

f — dx + f — dz+ ( — dx+ f — dz = 2 ni J    X    J Z    J X    J z

— R    K.    r    K„

i imkcja <P jest holomorficzna na całej płaszczyźnie C, a więc jest ciągła. Istnieje /iiiem taka liczba M > 0, źe |$ (z)| < M dla każdego ze [z e C: |z| < 1}. Podstawiając z = rc“ , — Ti < / <0 otrzymujemy

It ■ ■' h'- ”

więc wobec (1.4.20)

j-j-dz = ni+ J $ (z) dz = ni+I_r

K_r    K_r

przy czym na podstawie tw. o module całki |/_r| < Mnr Mamy następnie

f — dx = f — </x = - f -J x    J x    J

(1.4.22)

(1.4.23)

dx

więc

f dx+ f — dx = f J    X    J X    J

-R    r    r

I'odstawiając z = Re^!t, 0 < t < jr, otrzymujemy I_R = j~^~dz — i J*e^,Rco’^f e^_Rsln' dt

dx

A

sin x

(1.4.24)

(1.4.25)

więc

ii    a

|/*| < f e~^K,ia,dt = 2 J e-^Rsln,//r, (sin / = sin (n—t))

Ponieważ sin t ^ — t dla 0 ^    — (proszę o wykonanie odpowiedniego rysun-

Jt    2

ku), zatem

2 ₂R    °

|/«l<2Je~~‘dt = ~ J

O    -R

n

e" du = -£-(! — e^-R) jk

(1.4.26)