freakpp036

70

Tf(t) = idem; a(t) = idem    (4.24)

Rozwiązaniem równania (4.21) z warunkami brzegowymi (4.22) i początkowymi (4.23) jest nieskończony szereg, opisany równaniem (3.3).

Przyjmując określoną liczbę Fo > Foj (w przybliżeniu Foj = 0,55), równanie (3.3) można przedstawić w postaci tylko pierwszego wyrazu szeregu:

0 = Cifj exp|-|if Fo)    (4.25)

Logaiytmując równanie (4.25), otrzymuje się:

ln0 = ln(C|fj) - mt    (4.26)

gdzie

m = p.^a/1²    (4.27)

Graficznym obrazem tego równania w układzie (ln0,t) jest linia prosta (rys. 3.1).

Proces ochładzania lub ogrzewania ze stanu nieuporządkowanego Fo < 0,55 przechodzi w stan uporządkowany Fo > 0,55, dla którego jest słuszne równanie (4.26). Różniczkując względem czasu równanie (4.26), otrzymuje się:

—(In0) = -m    (4.28)

Tak więc tangens nachylenia prostej dla stanu uporządkowanego (rys. 3.1) jest stały i wynosi:

ln©| - ln©2 t₂ -tj

= idem = m

(4.29)

Prędkość nagrzewania lub ochładzania ciała w stanie uporządkowanym jest jednakowa dla wszystkich punktów ciała, co wynika z równania (4.28). Jest ona również stała dla tzw. średniej temperatury objętościowej, która jest zdefiniowana w następujący sposób [6]:

T

-j^Tdv

^V V

(4.30)

Ciepło, jakie oddaje ciało o dowolnym kształcie w czasie dt, wynosi:

dQ = -c_sPV—    (4.31)

i jest ono równe ciepłu, które przejmuje płyn:

dQ = aA(T_f - T_w)    (4.32)

Udowodniono w pracy [6], że pochodna po czasie z temperatury objętościowej wynosi:

— = -m(T_f-T)    (4.33)

Na podstawie równania (4.31) i (4.32) oraz (4.33), gdy Fo > 0,55, można zapisać:

(4.34)

(4.35)

c_sP_sV— = otA(T_f - T_w) = c_sPsV(T_f - T)m dt

stąd otrzymuje się:

aa

aA T_f-T_w

m =----=^

^csPs^ Tf — T

Tr -T

gdzie: 4* = —-- liczba podobieństwa charakteryzująca nierównomier-

Tf“T

ność temperatury,

l_z- zastępczy wymiar charakterystyczny ciała,

Bi_z- liczba Biota, al_z/X_s,

Ko = Bi_z4^/ - liczba podobieństwa Kondratiewa.

Jeżeli Bi_z—> 0, to 4* —> 1 (w praktyce wystarczy, aby Bi_z< 0,1), natomiast jeżeli Bi_z—> «>, to 4* —» 0. Im większa jest nierównomiemość temperatury, tym mniejszą wartość przyjmuje 4*. Liczba podobieństwa Kondratiewa Ko określa zarówno nierównomiemość pola temperatury, jak i wzajemne oddziaływanie ciała i otaczającego je płynu.

Na podstawie teorii stanu uporządkowanego okazało się, że liczba Kondratiewa jest funkcją liczby Biota. Jak widać na rys. 4.8, dla ciał o różnej geometrii