chądzyński4

142 8. ODWZOROWANIA KONFOREMNE

(b)    funkcja h przekształca konforemnie na G,

(c)    dla każdego r / 1 funkcja h przekształca okrąg C_r = {z G C: \z\ = r} na elipsę E_r określoną wzorem

-i 2

w — u + iv G C :

(1/2) (r^_1 + r)

+

v

.(1/2)(r-'

Rozwiązanie, (a). Ponieważ funkcja h jest holomorficzna, wystarczy pokazać, że jest ona różnowartościowa i h(Po) — G.

Pokażemy najpierw różnowartościowość h. Niech h{zf) = h(z₂). Wtedy po łatwych przekształceniach dostajemy (Z\Z₂ — l)(zi — z₂) — 0. Pierwszy czynnik jest różny od zera, zatem Z\ — z₂.

Pokażemy teraz, że h(P₀) C G. Przypuśćmy przeciwnie, że dla pewnego zq 6 Po mamy h(z₀) (f G, czyli h(z₀) € (—1,1). Wtedy po łatwych rachunkach dostajemy, że z₀ spełnia równanie kwadratowe z² — 2bz + 1 = 0 dla pewnego b G ( — 1,1). W konsekwencji Zq E {b — iy/l — b², b + i/l — fc²}, gdzie jest pierwiastkiem arytmetycznym. Stąd |z₀j = |6 ± i\JI — b²\ = 1, co przeczy temu, że

zq E Pq-

Pokażemy na koniec, że //(Po) = G. Przypuśćmy przeciwnie, że dla pewnego Wq € G równanie h(z) = wq me ma rozwiązania w P₀, co jest równoważne temu, że oba pierwiastki z_lf z₂ równania kwadratowego z² — 2wqZ + 1=0 spełniają warunki \zi\ > 1, \z₂\ > 1. Stąd i ze wzorów Viete’a dostajemy 1 < \zi\ < \z\z₂\ = 1. Zatem \z\\ — li istnieje liczba rzeczywista <p taka, że z\ — e^lip. Ze wzorów Viete’a mamy dalej z₂ — e~^l<p oraz wq — (l/2)(e^l^ + e'^_tv3). Stąd wq = cosG ( — 1,1), co daje sprzeczność.

Reasumując, h odwzorowuje konforemnie Po na G.

(b) . Inwersja / : P^ 3 z t—»• z^_L G Po odwzorowuje konforemnie P_x na Po Zatem h o f = h odwzorowuje konforemnie na G.

(c) . Pokażemy najpierw, że h(C_r) C E_r- Niech z = re^l<p, <p G (0,27r). Wówczas h{z) = (1/2)[(r+r^-1) cos <£+£(?"—r~^ł) sin <p] = u-\-iv. Stąd łatwym rachunkiem dostajemy, że h(z) G E_r.

Pokażemy, że h(C_r) = E_r■ Niech vjq — uq + Wq G E_t. Wówczas, jak wiadomo z analizy rzeczywistej, istnieje liczba y? G (0, 2r) taka, że u₍₎ = (1/2)(r + r^-1)^cosP> cq = (1/2)(r- — r“^]) siny?. Stąd w₀ — h(z₀), gdzie zq = re^llp.

j To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 4. Niech K — {z £ C : \z\ < 1}, G = C \ (—oo, — i f : K —+ C będzie funkcją określoną wzorem f (z) = zj(l — z)². Pokazać, ze funkcja f odwzorowuje konforemnie K na G.

Rozwiązanie. Ponieważ funkcja/ jest holomorficzna, wystarczy pokazać, że jest ona różnowartościowa i f(K) — G.

Pokażemy najpierw, że / odwzorowuje bijektywnie K \ {0} na G \ {0}. Łatwo sprawdzamy, że /j*r\{0} = hi ° h₂ o /?,₃, gdzie h₁(z) — 1/z, h₂(z) = 2z — 2, ha(z) = (1/2)(z + z~¹). W myśl zadania 3 h₃ odwzorowuje bijektywnie K \ {0} naC\{—1,1). Prostym rachunkiem isprawdzamy, że przekształcenie liniowe h₂ odwzorowuje bijektywnie C\ (—1,1) na C \ (—4,0), inwersja h₁ odwzorowuje zaś bijektywnie C\(—4, 0) na G\{0}. Reasumując, / odwzorowuje bijektywnie K\ {0} na G \ {0}.

Oczywiście /(0) — 0. Zatem / odwzorowuje bijektywnie K na G. To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 5 (S. Bernstein). Niech P będzie wielomianem stopnia n oraz \P(z)\ < M dla z £ (—1,1). Pokazać, że dla dowolnego punktu z leżącego na elipsie o ogniskach — 1, 1 i sumie osi 2p mamy | P (z) | < Mpⁿ.

Rozwiązanie. Niech fż = C \ {0} i h : O —> C będzie fimkcją określoną wzorem h(z) = (l/2)(z + z~^l). Pmikcja Q 3 z i—> z^7lPo h(z) rozszerza się do wielomianu / (stopnia 2n) na C. Niech K := {z 6 C : \z\

<    1}. Wtedy, na mocy wniosku 1.44.3 (zasada ekstremum), mamy 1/(41 < sup_jc!=1 |/ (01 dla 2 € K. Stąd

(!)    I/WI < sup_iC|₌₁ |P o ń(C)| dla 2 € K.

Łatwo sprawdzamy, że funkcja h przekształca okrąg {£ G C : |C| = 1} na odcinek (—1,1). Stąd, z (1) i z założenia zadania dostajemy \f(z)\

<    M dla z £ K. Nierówność ta, zgodnie z określeniem funkcji /, daje

(2)    \Poh(z)\<M\z\~ⁿ dla z £ K\ {0}.

Z (2) i z równości h(l/z) = h(z) dostajemy

(3)    \P o h(z)\ < M \z\⁷¹ dla \z\ > 1.