str103 (5)

§ 11. ODWZOROWANIA KONFOREMNE 103

§ 11. ODWZOROWANIA KONFOREMNE 103

. W tym celu wykorzystamy vzór (3) względem z, mamy

wynika, że

f, iż szukana funkcja /(z) jest

rowuje konforemnie górną

Przyjmując we wzorze (4) z = i, mamy

(5)    --*>*■

Stąd natychmiast

Arg/'(0 = Arg (—■£)+Arg i+Arg e^>9,

(6)    Arg/'(i) = n+in + cp.

Z relacji (6) oraz z drugiego z warunków początkowych (1) wynika, że

n+łn+ę = iic,

czyli

(p = —71.

Uwzględniając otrzymany rezultat we wzorze (3), mamy

, z — i i—z

(7)    /(z) = e-^to— = — •

z+i i + z

Wzór (7) określa szukaną funkcję.

Zadanie 11.9. Na jaki obszar płaszczyzny (w) odwzorowuje funkcja

z —i

(1)

w —

z + i

obszar płaszczyzny (z) ograniczony dwoma okręgami o promieniu _N/2 i o środkach w punktach — 1 oraz 1 (rys. 1.26a).

Rozwiązanie. Łatwo zauważyć, że równania okręgów, o których mowa w zadaniu, mają odpowiednio postać    *>

(2)    |Z + 1| = yjl,

(2')    |z—1| = ■_v/2.

z), która odwzorowuje kon-sposób, że punkt oc, gdzie i

wzór (2) przyjmuje postać

Okręgi o równaniach (2) ₄i (2') przecinają się w punktach / oraz — i pod kątem prostym, gdyż wektory li oraz —li są prostopadłe. Z (1) wynika, że jeden ze wspólnych punktów okręgów (z = —i) przechodzi w punkt w = co, drugi zaś wspólny punkt rozpatrywanych okręgów (z = + i) przechodzi w punkt w = 0. Wynika stąd, że obszar zakreskowany na rysunku 1.26 a przechodzi przy odwzorowaniu na obszar kątowy, którego wierzchołek znajduje się w początku układu. Wiadomo dalej, że wielkość tego kąta jest równa ponieważ odwzorowanie (1) jest odwzorowaniem konforemnym, czyli zachowującym kąty. Aby określić położenie tego kąta na płaszczyźnie (w) wystarczy znaleźć choć jeden punkt na którymkolwiek ramieniu tego kąta. Zauważmy w tym celu, że punkt z = (-J2— 1) leży na luku y (rys. 1.26a). Przyjmując z = {Jl— 1) w (1), otrzymujemy

ve wzorze (3). W tym celu

(3)

V2 —1 —i ₌ (V2-l-Q² ₌ 2(1-V2) + 2(1-V2)i ₌

V2-l + i (>/2-l)² + l    4-2^2

d-V2), .1-72 2-72    2-72-