014

14

1. Zdarzenia i prawdopodobieństwo

Twierdzenie 1.1.2.

Jeżeli BcA. to Pr(A \B)= Pr (A) - Pr(B).

Kilka następnych użytecznych wzorów sformułujemy jako zadania i pozostawimy do samodzielnego udowodnienia.

Przestrzeń probabilistyczna

Trójkę (Q,J^,Pr) nazywa się przestrzenią probabilistyczną. W następnym punkcie rozpatrzymy dwa specjalne przypadki przestrzeni probabilistycznych. Teraz tylko jeden bardzo prosty (najprostszy nietrywialny) przykład. Przykład. Rzucamy jeden raz monetą. Wtedy O. = {(?,&},

^={0, {&},{&},£}}

oraz Pr(ć?) = Pr(^) = 1/2. W ten sposób została określona przestrzeń probabilistyczna (£2,^, Pr).

Niezależność

zdarzeń

Niezależność zdarzeń jest własnością nie tylko samych zdarzeń jako zbiorów, ale także prawdopodobieństw na nich określonych.

Definicja.

Ciąg zdarzeń A, ,A₂,... (skończony lub nieskończony) jest niezależny, gdy dla dowolnego jego skończonego podciągu A^ ,A_; ,... ,A,- zachodzi równość

Pr (A, nA_l2 n ■. • nA. ) = Pr (a. ) Pr (aJ • ■ -Pr (a,J .    (1.1.4)

Jeżeli o pewnych zdarzeniach wiemy, że są niezależne oraz znamy ich prawdopodobieństwa, to możemy obliczyć prawdopodobieństwa ich iloczynów. Przykład. Rzucamy raz dwoma monetami. Jeżeli wiemy, że wyniki na obu monetach są niezależne i prawdopodobieństwa wyrzucenia zarówno orła jak i reszki są równe, to prawdopodobieństwo wyrzucenia dwóch orłów jest (jak dobrze zresztą wiadomo) równe Pr(ć?j) -Pr(ć?₂) = (1/2)(1 /2) = 1 /4. We wzorze tym, oznacza zdarzenie (elementarne) polegające na wyrzuceniu orła na i-tej monecie.

Uwaga. Jeżeli w ciągu zdarzeń niezależnych A,,A₂,... (skończonym lub nieskończonym), zdarzenia wszystkie lub tylko niektóre, zastąpimy przez zdarzenia przeciwne do nich, to otrzymamy również ciąg zdarzeń niezależnych.

1.1.3. Przykłady definicji prawdopodobieństwa

Rozpatrzymy teraz dwa szczególne przypadki definicji prawdopodobieństwa. Jako pierwszy podamy tzw. geometryczną definicję prawdopodobieństwa. Nazwa definicja jest tu myląca, bo tak naprawdę, jest to tylko szczególny przypadek ogólnej, aksjomatycznej definicji prawdopodobieństwa.