024

24

1. Zdarzenia i prawdopodobieństwo

Twierdzenie 1.3.2.

Jeżeli zdarzenia A i B są niezależne i Pr(B) > O, to

Pr(A|B) - Pr (A).

1.3.2. Wzór Bayesa

Twierdzenia przedstawione w tym punkcie znane są pod tradycyjną nazwą wzorów. Trzeba jednak zwrócić uwagę, że wzory te są prawdziwe tylko przy spełnionych założeniach, wspólnych dla obydwóch twierdzeń.

Wzór na prawdopodobieństwo całkowite

Twierdzenie 1.3.3.

Niech A_i będzie ciągiem zdarzeń takim, że A ■ n A - = 0 dla i ^ j oraz niech £^Pr(^Ai) = i. Wtedy

i

Pr(B) = £Pr(B|A_i)Pr(A_j).    (1.3.4)

i

Ł

Dowód. Twierdzenie udowodnimy w szczególnym przypadku, gdy założenie ^Pr(A_/) — 1 zastąpimy mocniejszym: [JA_Z = Q.

i    i

Ze wzoru (1.3.2) otrzymujemy zależność Pr(B|A-)Pr(A-) =Pr(A_i fiB). Ponieważ zdarzenia A_t są parami rozłączne, to również parami rozłączne są

zdarzenia BOA; oraz B = BO^jA^. Stąd

l

Pr(B) = Pr (bhIJa,.) = Pr ((J(BnA,))

= £Pr(B|A,.)Pr(A,.).

*

l

□

Bezpośrednio ze wzorów (1.3.1) i (1.3.2) otrzymuje się następujące twierdzenie.

Wzór Bayesa¹

Twierdzenie 1.3.4.

Przy założeniach twierdzenia 1.3.3 oraz dla Pr(B) > 0 mamy

Pr(A,-|B) =

Pr(B|A_/)Pr(A-)

Pr(B)

(1.3.5)

gdzie Pr(B) wyznaczone jest ze wzoru (1.3.4).

1

Thomas Bayes (1702 - 1761), angielski pastor, interesował się matematyką. Wzór Bayesa nie został sformułowany przez niego, a nazwę tę nadał mu Laplace.