2808185811

Twierdzenie Kroneckera-Cappellego

Twierdzenie 1 (Kroneckem- Capedego). Warunkiem koniecznym i dostatecznym, aby dany układ równań miał rozwiązanie jest równość rzędów macierzy A i macierzy rozszerzonej (A : B). Niech rz(A) = rz((A : B)) = r. Gdy r równa się liczbie niewiadomych n, to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy r jest mniejszy niż n, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, które zależą od n—r parametrów.

Przykład 1 Rozwiązać układ równań

5x + 3y — z = 3 2x + y — z = 1 3* - 2y + 2z = — 4 x—y + 2z = —2

Niech

A =

( ⁵

2

3

V¹

3

1

-2

-1

-1 \ -1 2

2 )

( 5    3

2 1 3 -2 \ 1 -1

-1

-1

2

2

3 \

1

-4 ^—2

Stąd

rz A =

	( 5 3	-M		f &	3	-M		f 5	3
	-3 -2	0		-3	-2	0		-3	-2	0
rz	3 -2	2	= rz	13	4	0	= rz	13	4	0
	1-2 1	o )		\ ^—2	1	o )		\ —2	1	0/

— rz

= rz

21 0 0

V 0    10/

= rz

1