990 111

110

Przekształcenia liniowe

jkłady równali

	z		' 5 3	0	’ z		0
(A-IX:)	y z . ’ r '		0 6-1 .0 0 0 . 0 3 0 ‘		y z _ ' X ‘		0 . 0 ' 0 ■	<=> < (
[A-I A3)	y	=	0 1	-1	y	=	0	~ {
	z .		0 0-5.		z .		.0 .	l

	’ X		' -1	3 0*	' z ‘		' 0 '
(A-I As)	y z	—	0 0	0 -1 0 -6.	y z _	—	i 0    o 1 _

z = 6y

y € R

y = z = 0

x £ R

x = 3 y y £ R 2 = 0

/ 3    \

Stąd v, = ^--y.y.OyJ, v₂ = (x. 0,0), r₃ = Oy.y.O), gcbie z y £ i? \ {0}. Zapisując inaczej mamy W-_A = lin    ⁶)}    = lin {(1.0.0)}, W^r2 = lin {(3,1,0)}

o) Dla podanej macierzy mamy

det (A — XI)

2-A 0    1

0    4-A 0

-5    0    -2-A

(A² -f l) (4 — A)

Jedynym rzeczywistym pierwiastkiem wielomianu chakterystycznego, a więc i jedyną rzeczywistą wartością macierzy A jest liczba A = 4. Licząc

	X		-2 0 1 '	z		' 0 ■	(
(A - IX)	-1 _1	—	0 0 0 -50 -6.	N 1_	=	0 . 0 .

znajdujemy wektor własny v = (0,y,0), gdzie y 6 R \ {0} oia2 przestrzeń wektorów własnych Wą = lin {(0,1,0)}.

f) Wielomian charakterystyczny wa danej macierzy A ma postać

wą(X) = det (A - XI) =

1-A    234

1    2 — A    3    4

1    2    3 — A    4

1    2    3    4    — A

Chcąc ułatwić sobie obliczenie powyższego wyznacznika od każdego wiersza odejmujemy wiersz ostatni, następnie do ostatniej kolumny dodamy sumę pozostałych otrzymując:

“U(A) =

-A    0    0    A    -A

0    -A    0    A    0

0    0    -A    A    0

1    2    3    4 - A    1

0 0 -A 0 0 -A 2 3

0

0

0

10-A

-A^s(10 - A).

Macierz A ma więc dwie różne wartości własne Ai = 0, A₂ = 10. przy czym pierwsza z nich ma krotność 3. Wektory własne Vi, postaci (z,y,z,t) im odpowiadające znajdziemy

Jedenasty tydzień - przykłady

111

z układów równań

(^t - 7A₂)

(A-IX,)

’ r
y
z
ł m
’ z "
y
z
t _

1 2 1 2 1 2 1 2 -9 1 J 1

3 4 3 4 3 4 3 4 2 3 -8 3 2 -7 2 3

	’ r "		' 0 “
	y		0
	z		0
	t.		_0_

f x = —2y — 32 — 4i

| y, *, * € R

' o'

O    f _z = y = z = t

O ^ \ t <E R O

Stąd iii = (~2y—3z—4t, y, z, <), przy czym y ^ 0 lub z ^ O lub i ^ O oraz t’₂ = (z, x, i, x) dla r ^ 0. Przestrzeń Wq odpowiadająca wartości własnej X\ = 0 jest trójwymiarowa postaci W_c = lin {(-2,1,0, 0), (-3,0,1,0), (-4,0,0,1)} , zaś W& = lin {(1,1,1,!)}.

Przykład 11.6

Wyznaczyć wartości i wektory własne podanych macierzy zespolonych:

					0 10'
a)	1-1 9 l	; t)	2+1 1 2 2-i	; ^c)	0 0 1 1 0 0	; d)

Rozwiązanie

Wartość własną A 6 C zespolonej macierzy A stopnia n wyznaczamy 2 warunku

det (A - A/) = 0,

zaś odpowiadający jej wektor własny będący' niezerowym rozwiązaniem odpowiedniego układu jednorodnego jesL tu elementem przestrzeni C". tzn r = (zi,..., r_n) € C*\

a) Mamy

det {A — A/) =

= A²-2A + 10.

Wielomian charakterystyczny rna dwie wartości własne Aj = 1 — 3t, >2 = 1 + 3i. Znajdziemy teraz wektory własne odpowiadające wartościom własnym X\, A₂. Mamy

(A-I A,) (A - i>₂)

—3i -1

9 -3*

y = 3ix, r € C, y = —3ix. z £ C.

Wektory własne v\, v₂. odpowiadające kolejnym wartościom własnym mają postać Vi = (z,3tx), v₂ = (z —3iz), gdzie z € C \ {0}. Przestrzenie wektorów własnych są tu więc równe W_:-_ix = lincr {(1»3t)}. W^ri-M. = linc {(1, —3t)}, przy czym są to zespolone przestrzenie liniowe i przy generowaniu bierzemy zespolone kombinacje liniowe generatorów, b) W' tym przykładzie

det (A - XI) =

2 + i - A 1 2    2 - i - A

= A³ — 4A + 3 = (A - 1)(A - 3)