96 97 (5)

96    Przekształcenia-liniowe

	-1-f v3		V 1	3 — y/3	-3 — v^3
l^4	1 - >/3	1 + V3 j	) 3	-3 + v^/3	3 + V3

b) Podobnie macierz złożenia K o L o K o L ma postać A B A B = (A DY

• Przykład 10.3

Spośród podanych przekształceń liniowych wybrać przekształcenia odwracalne i napisać macierze przekształceń odwrotnych do nich w bazach standardowych rozważanych przestrzeni liniowych. Ponadto podać wzory przekształceń odwrotnych, jeżeli:

^a)    L    R² —' R\ £(*,y) = (* + 3y, 2x - y);

b)    L    :    R³ — R³, L(z, y, z) = [x — y -ł- 2z, 2x +    z, 4x - 2y + 5z)\

c)    L    :    R₂\x] —► R₂[x], (Lp)(z) = 3(x + l)p'(z)    + p(0) dla p C_ R₂[x]\

d)    L    R3 z] —► A3M, (Lp)[x) = xp'(i -f 1) -    p(x + 1) dla p €    #3(2:].

Rozwiązanie

Jak wiadomo przekształcenie liniowe L : U—» V, gdzie U i V są przestrzeniami liniowymi skończenie wymiarowymi, jest odwracalne wtedy i tylko wtedy, gdy jego macierz A jest nicosobliwa Macierz przekształcenia odwrotnego Ljest 2aś równa macierzy A”¹.

a) Przekształcenie rozważane w tym przykładzie jest odwracalne, bowiem

			' 1 3 •
.4 =	’ 1 3 2 -1	, det .4 = —7^0, A^-1 =	7 7 2 1 ■ 7 7 -

Oznacza to, że

li!).

b) Przekształcenie z tego przykładu nie jest odwracalne, gdyż

det A =

= 0.

1 -1 2 2 0 1 4-2 5

c) Obrazy wektorów z bazy przestrzeni J2₂[z] są następujące:

L{\) = 1, L{ 1) = 3z + 3, L (i²) = 6r² + 6z,

co daje

		1-1 1
1 3 0		n ^1 1
0 3 6	, det A = 18 9* 0, A"^1 =	3 3
.0 0 6.		0 0 \
		L 6 J

Istnieje więc przekształcenie odwrotne L~^l, które można zapisać wzorem

L ¹ (az² 4- bx + c) = ~x² -f--t—x 4- a — b + c dla a,b,c £ R

o    3

{L ¹p) (r) = ip(x) +ixp(-l) - ip(0) + p(-l) dla p € J¹z[x].

d) Tutaj £{1) = -1, I(r) = -1, I (r^a) = z² - 1,    L    (z³) = 2x³ + 3r² - 1, więc

' -1    -1    -1    -1    ‘

0    0    0    0

* “    0    0    13

0    0    0    2    _

Przekształcenie L nie jest odwracalne, gdyż det A = 0.

• Przykład 10.4

Przekształcenie liniowe L : V—¹■ V ma w bazie {wj. przestrzeni liniowej V

macierz

Znaleźć

a) L^Ą (ui + 5«2); b) L~^x (3t?i — 4^2).

Rozwiązanie

a) Macierz przekształcenia I¹ jest równa AV Zachodzą równości

7 -1 ‘	2	47 -9		1 "		2 '
2 2	^=	18 2	, A^4	5	—	23

Stąd wynika, że L^A (V\ -f 51'2) = 2v\ + 28 $2-

b) Przekształcenie L jest odwracalne, bowiem det A = — 4 ć 0. Przekształcenie Z ^-1 ma macierz A”¹ Z warunków

»^ł = {S? =

1 1

2    4

5 '

2

S

2 -

5 S

wynika, że L~' (3vj — 41¹2) = -v\ -f -i>2.

1

Przykład 10.5

Wyznaczyć wartości własne i odpowiadające im podprzestrzenie wektorów własnych dla podanych przekształceń liniowych płaszczyzny R² i przestrzeni R³: przy czym odczytać je najpierw z interpretacji geometrycznej tych przekształceń, a później przeprowadzić obliczenia algebraiczne:

a)    rzut prostokątny na płaszczyźnie na oś Ox\

b)    obrót na płaszczyźnie o kąt ^ wokół punktu (0,0);

c)    symetria w przestrzeni względem osi Oz.