114548

3. Dane jest przekształcenie liniowe f: W_?(R) —» W₃(R), gdzie W_k(R) oznacza zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach rzeczywistych stopnia < k, określone wzorem

t

f(<p)(t) = J(s - 2>p'(s)ds o

a)    Wyznaczyć macierz przekształcenia w bazach (^ *• **), (*• *•^l *).

b)    Wyznaczyć macierz przekształcenia w bazach ((2—1),(2 -4-0.2 -4-t^?) _f (x t, t², t³).

c)    Wyznaczyć bazę i dim ker f.

4. Wyznaczyć wartości własne i wektor własny odpowiadający jednej z niezerowych wartości własnych przekształcenia liniowego f :R³ —»R³ określonego wzorem

*i-x₂

f(x)

2x₁ + 2x₃

X₁+2x₂ + 3x₃

5. Wykazać, że jeśli macierze kwadratowe A i B spełniają warunek PB = AP, gdzie P jest macierzą nieosobliwą, to macierze A i B mają jednakowe wielomiany charakterystyczne.

EGZAMIN Z ALGEBRY I

16 czerwca 1999

Imię i Nazwisko..

Nr indeksu.

1. W zbiorze wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych określamy działanie dwuargumentowe * wzorem x*y = 3^-x-3“^y.

Sprawdzić, czy działanie *:

a)    jest przemienne,

b)    jest łączne,

c)    ma element neutralny.

2. Podać interpretację geometryczną zbioru X = ^z e Z:    ^ ⁰

3.Niech f: z³ —> Z³ będzie przekształceniem liniowym określonym wzorem:

‘2z₁-iz₂ + z₃’

f(z) =

^zt + 3iz₂ - z₃

3 Z] + 2iz_?

a) Wyznaczyć macierz f w bazie kanonicznej przestrzeni z³-