3545337083

1.5. Przekształcenia złożone 19

gdzie i oraz j oznaczają wektory jednostkowe osi odpowiednio x i y, przekształcenie (1.52) można we współrzędnych jednorodnych zapisać w postaci (por. wzory (1.31) i (1.32))

		i	0 t	1	0 t			i	^0txl ^+ t*2
x'						X				X
y'	=	0	^1	0	^1	y	=	0	^1 V'*	y
i		0	^0 1	0	0 1	i		0	^0 1	i

gdzie macierz

1 0 0 1

(1.53)

0 0 1

jest macierzą przesunięcia.

Z zależności (1.53) wynika, że translacja jest operacj ą przemi enną, co oznacza, że kolejność wykonywania przesunięć jest dowolna. Ponadto z zależności tej widać, że w celu przesunięcia punktu o sumę dwu (lub większej liczby) wektorów, można najpierw obliczyć wektor będący sumą danych wektorów, a następnie wykonać jedno przesunięcie o ten właśnie wektor. Translacja jest więc także operacją addytywną.

Obrót punktu względem początku układu współrzędnych, podobnie jak translacja, jest ope-racjąprzemiennąi addytywną. Oznacza to, że we współrzędnych jednorodnych dla układu lewo-skrętnego mamy

⁼ P^Pę ⁼ ^(p+i|» ⁼

gdzie macierz R_ę jest określona wzorem (1.38), a dla układu prawoskrętnego (w tym układu współrzędnych ekranu)

P(f>Pty    ^=    = ^i|j*<p>

przy czym R^ oznacza macierz określoną wzorem (1.40).

Operacja skalowania posiada inne własności niż translacja i obrót. Jeśli punkt P przekształcimy najpierw do punktu P", po czym punkt P" do punktu P', tj.

P" = S_{s s} (P), P' = S. _s (P"),

*i’ yi    *2’ ?2

czyli

P‘ = S, , [S, , (/>)] s S, ° S , (/>),

^x2’ >2    '1 ’    ^x2’ yi *1’ >1

to na podstawie wzoru (1.44) mamy

		5_	0	0		0	0				0	0
X		*2			S*i			X		*2 *1			X
y'	=	0		0	0		0	y	=	0	s s >2 y\	0	y	(1.54)
i		0	0	1	0	0	1	i		0	0	1	i