m12

Rozdział 2

Twierdzenie Kroneckera-Capelliego

1.    r(A) = r(C) = n

Układ ma 1 rowiązanie (ukł. oznaczony)

2.    r(A) = r(C) = r < n

Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań (ukł. nieoznaczony)

3.    r(A) * r(C)

Układ nie ma rozwiązania (ukł. sprzeczny)

[n - liczba niewiadomych,

C - macierz uzupełniona]

12. Zbadać liczbę rozwiązań układów, w zależności od parametru a\

a)

2x-y = a x + a²y = 3

W =

Wy =

W_v =

2 -1 1 a²

a -1 3 £7²

2 a 1 3

=2<r + 1*0

(dla )

= a³ + 3

= 6 - a

V =    «

2a²+l

6-a 2a²+l

Dla a e IR układ ma 1 rozwiązanie

y =

2<^+l

6-<3

2*²+l

-x + 2j- = a

a²x-2y = -1

-1 2

er

-2

= 2-2 a² - 2a- * 0

Badam kiedy 2

2 * 2cr 1 * a²

a² * 1 i a² * -1

Dla a = 1 otrzymujemy

-x + 2y = \

x-2y = -1

2y = 1 + x x - 1 - x = -1 0x = 0

Układ nieoznaczony Dla a = -1 otzymujemy

—x + 2_y = -1

x - 2y = -1

Dodajemy stronami

0x + Oj- = -2

Układ sprzeczny

Dla a e IR\{1,-1> otrzymujemy

-1 2

W =

=

=

X =

a² -2

a 2 -1 -2

-1 a a² -1

-2tf-t-2    _

= 2-2 a²

= -2cr + 2

= 1 - a

1 -a _    1-a    _    1

1-a²    (l-a)(l+fl)    1+a

_ (a^l)(ar+<af+l) _ ą-ą-ą-tl 2(a-l)(a+l)    20+2

■V =

2-2a²

l-*³

2-2a²

IR\{1,-1> ukł. ma 1 rozwiązanie

1 ukł. jest nieoznaczony -1 ukł. jest sprzeczny