720154763

10 Ideały i ich własności

Przykład 2.1.4. Pierścień Z jest dziedziną ideałów głównych. Z jednej strony wiemy, że jest on całkowity, a z drugiej strony wiemy, że wszystkie podgrupy są postaci nZ, czyli inaczej (ń), a więc ideały jako podgrupy są ideałami głównymi.

Własność 2.1.5 (własności ideałów). Niech P będzie pierścieniem, a\,...,a_n G P oraz I<P.

(1)    (ai,... ,a_n) = Pai 4-----1- Pa_n = {riai + ... 4- r_nOn, r_f G P}.

(2)    Jeśli I Cl U(P) 0, to wtedy I = P.

(3)    P jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy jedynymi ideałami w P są (0) oraz P.

Dowód.

(1) Niech J = Pai 4-----1- Pa_n. Najpierw wykażemy, że J jest ideałem co będzie oznaczało,

że (ai,..., a_n) C J. Fakt, że (J, 4-) jest podgrupą (P, 4-) jest natychmiastowy. Istotnie, jeśli b,c G J, to

b = &i<ii 4- • • • 4- b_na_n, c = Cidi 4- • • • 4- c„d_n dla pewnych ój,CjGP(l<i<n). Stąd wniosek, że

b-c = (bi~ ci)ai 4-----1- (6„ - Cn)a_n G J.

Podobnie gdy a G P, to

ab = (abi)a\ 4-----b (ab_n)a_n G J.

Zawieranie w drugą stronę wynika z definicji ideału. Skoro di,...,dn G (di,...,o*), to każda ich kombinacja z J też musi należeć do (dj,..., a_n).

(2)    Gdy u £ I DU(P) oraz v G P spełnia uv — 1, to dla a G P jest a — auv G I.

(3)    Jeśli I jest niezerowy, to I D U(P) ^ 0, czyli z (2) mamy I = P. Jeśli o G P \ {0},

to wobec (a) 7^ (0) mamy (a) = P, czyli istnieje takie b G P, że ab = 1, a zatem jest to element odwracalny.    □

Zauważmy, że podpierścień właściwy nie musi być ideałem, na przykład Z jest podpier-ścieniem Q, nie jest to jednak ideał, gdyż Q jako ciało nie zawiera nietrywialnych ideałów właściwych.

Twierdzenie 2.1.1 (działania na ideałach). Niech I, J będą ideałami w pierścieniu P.

(1)    Zbiory

14" J = {d 4" b : a G I, b G J},

IJ = | ^2 ^ai^i : di,... ,d_n G /, 61,..., b_n G J, n > 0 j

i=l

są ideałami w P.

(2)    Jję/nJę/4-J.

(3)    Jeśli I jest łańcuchem ideałów w pierścieniu P, (w sensie inkluzji) to wtedy I — {JT jest ideałem w P.