13035 Nowy 10 (6)

28 Sygnały i ich parametry

a ergodyczny - kiedy jest on stacjonarny i parametry statystyczne każdej jego realizacji czasowej są takie same jak wszystkich zmiennych losowych*,.

Dla dociekliwych. Oczywiście sygnały losowe są ciągłe i dyskretne. Zgodnie z twierdzeniem Hołda każdy dyskretny sygnał (proces) losowy *(«), stacjonarny w szerokim sensie, może być przedstawiony jako suma dwóch składowych: deterministycznej x_d(n) oraz czysto losowej x,(n):

x(n) = x_d(n) + x/(n)    (1.42)

Składowa deterministyczna jest idealnie (bez błędu) przewidywalna na podstawie nieskończonej przeszłości (historii) sygnału, tzn.

00

^xd(ⁿ) ⁼ ~^^ak^xd(ⁿ~k)> a* - stałe predykcji.    (1.43)

*=i

Przykładem takiego sygnału może być suma sinusoidy o losowej fazie oraz szumu.

1.4.3. Funkcje korelacji i kowariancji, gęstość widmowa mocy

Funkcje korelacji R{.) i kowariancji C(.) definiuje się dla stacjonarnych sygnałów loso

wych x(t) i y(t) w następujący sposób:

sygnały ciągłe

R_ja(x) = E[x(t)x(t-x)]

R_xy(x) = E[x(t)y(t-x)]

C_xx(x) = E[(x(t) - X, )(*(/ - T) - X,__x )] C_V(T) = E[(x(t)-x, )(y(t-T)-g,__t)]

sygnały dyskretne

R^im) = E[x(n)x(n - m)]

R_xy(m) = E[x(n)y(n-m)]

£«("») = £[(*(«) - x„)(x(n -m)-x„__m)] C_xy(m) = £[(*(«) - x„ )(y(n- m) - y„__m)]

gdzie £[.] oznacza wartość oczekiwaną po zbiorze wszystkich realizacji (sygnałów) procesu dla ustalonego I. Definicja funkcji kowariancji jest analogiczna do funkcji korelacji, z tą różnicą, że odejmuje się w niej od zmiennych losowych, związanych z konkretną chwilą czasową, ich wartości oczekiwane („średnie”, najbardziej prawdopodobne) x, i y,__T. Dla sygnałów stacjonarnych powyższe wartości oczekiwane nie zależą od czasu t (indeksu n). Przypomnijmy:

•    w powyższych wzorach x(t) i y(t-r) (odpowiednio: x(n) i y(n-m)) należy traktować jako dwie niezależne zmienne losowe *, i y,-_r: pierwsza występuje w chwili czasowej t, druga zaś - w chwili czasowej t-x\

•    przyjmują one różne wartości w zbiorze wszystkich realizacji;

•    funkcja korelacji jest wartością oczekiwaną (najbardziej prawdopodobną) iloczynu tych zmiennych, dla sygnałów niestacjonarnych zależną od wyboru wartości parametrów / i x:

+00 +CC

R„(t,x)=E[x(t)y(t-x)]= \ j x,y,__x p(x,y,__x)dx,dy_t__x    (1.44a)

-00 -00

dla sygnałów zaś stacjonarnych nie będącą funkcją czasu /, tylko „przesunięcia” t: