img079

79

Definicja 7.1. Mówimy, że element lei interpoluje funkcję f CZ względem układu funkcjonałów l_Q,1^,...,1^, jeśli spełnione sę równości

l_k(i) ■ 1^(0 S k ■ 0,1,...,m

Celem interpolacji, przy ustalonych zbiorach 2, I oraz funkcjonałach 1_Q,lj#-.*«l_m, jest przyporządkowanie każdemu elementowi f tZ przynajmniej jednej funkcji interpolującej ici (o ile taka istnieje).

Definicja 7.2. Deśli f^.fj,€ 2, to kezdę funkcję postaci

w

^Bo^fo

Vi

a_f.

gdzie ⁸o*^aj«*«*»⁰w    *9 liczbami, nazywamy wielomianem uogólniony wzglę

dem funkcji f_Q, *1' •••• ^zblbr mezystkich takich wielomianów uogólnionych oznaczamy symbolem Lin(f^,f...,f^).

Można łatwo stwierdzić. Ze zbiór Lin(f_fl,f^,...,fjest podprzestrze-nię liniowę przestrzeni 2.

w zadaniach interpolacyjnych należy, między innymi, odpowiedzieć na naatępujęce pytania:

a)    czy istnieje funkcja interpolująca?

b)    czy funkcja lnterpolujęce Jest jedyna?

c)    Jak znaleźć funkcję lnterpolujęcę?

Odpowiedź na te pytania podamy przy dodatkowym założeniu, że I »

* ^Lin(*o**i»•••** gdzie    ®ę ustalonymi funkcjami z

przestrzeni liniowej 2.

Niech więc f będzie dowolnym elementem zbioru 2. Wówczas znalezienie elementu 1CLin(f_Q#f_1#...,f^) interpolujęcego f względem układu funkcjonałów liniowych 1^,1^,...,l_n sprowadza się do wyznaczenia n*l liczb *₀»^ai» •••»**, takich, że

¹ ■ Vo * ^mi^ft * ••• ♦ V.

oraz

lk ^¹) “ 1^(0 ¹ k “ O,i, •,m    (7.i)

Ponieważ l_k Jest funkcjonałem liniowym, więc równości (7.1) możemy zapisać w postaci

(7.2)

•oW * “iW * “oW * »iW ^ł

■o¹.

<v

'l^l»

<»»>

♦ a_l.

V'>