Skrypt

Injektywność (różnowartościowość) funkcji. Funkcje odwrotne.

Definicja 1.6.

Mówimy, że f:X —»Rjest funkcją równowartościową (injekcjaj, jeśli zachodzi warunek

Vx., x, s X [x. * x, ] => [/ (Xj)*/(-)].

Uwaga.

Na mocy zasady kontrapozycji {{p => q) o — q => —. p) ostatni warunek można podać

w następującej równoważnej postaci: ¥x-,x, sl [/(*i) = /(_:)=3»[x₁ = x, ]] . Prawdziwe jest więc

Twierdzenie 1.1.

/: X —> Y jest injekcją <=> ¥x. ,x₂ e X /(x,) = f(x,) => r, = x.

Twierdzenie to jest wykorzystywane, przy rozwiązywaniu równań, w których występują funkcje mjektywne („opuszczenie” symbolu logarytmu lub podstawy fiinkcji wykładniczej).

Interpretacja graficzna różnowartościowości:

każda prosta równoległa do osi Ox przecina wykres funkcji różnowartościowej w^ł co najwyżej jednym punkcie.

Definicja 1.7.

Niech f oraz h będą funkcjami różno wartościowymi, przy czym D_h = R_; i R_h = D_r. Funkcję h nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f i oznaczamy h = /^-l o Vx s R_r    f (/7(.v)) = x,

Uwaga.

Oznaczymy przez id ^ funkcję identy^rcznościową w zbiorze A tzn. funkcję, która każdemu elementowa za zbioru A przyporządkowuje ten sam element. id \A —> A , x h—^ x

Wówczas mamy / ° / ”' - id_R .

Złożenie funkcji odwrotnej do funkcji f z funkcją f jest więc identycznością w przeciwdziedzinie funkcji f.

Wykres funkcji odwTOtnej /"* jest symetryczny do wykresu funkcji f w^rzględem prostej

y = x.

Przykład 1.7.

/ R^R , f:x-> y = 2x + 1

Sprawdź, że f jest funkcją różnow^?artościową, naszkicuj wykresy funkcji    oraz podaj

przepis na f~^l.

Rozwiązanie.

Aby pokazać injektywność wykażemy prawdzwosć implikacji Vx. ,x₂ e R [/(x,) = f(x₇) => x, = x_:]