9414912321

MACIERZ ODWROTNA

Definicja. Zakładamy, że A = jest macierzą kwadratową stopnia n. Macierzą dopełnień macierzy A nazywamy macierz [/4„]_n,„, gdzie Aoznacza, jak poprzednio, dopełnienie algebraiczne alemantu ay . Macierzą dołączoną macierzy A (oznaczamy ją symbolem A^D) nazywamy macierz:

A^D = lAsZ. -

Przykład 1. Wyznaczyć macierz dopełnień i macierz dołączoną macierzy >1=    0    2 1    . Obliczyć

[ ¹    2 3 J

A -A^D.

Rozwiązanie. Obliczamy dopełnienia algebraiczne wszystkich elementów macierzy A.

Au = (-l)^l+1	1 ^2 1 1-4 1 2 3 | ^- ’	Au = (-l)^l+s -1 J 3 | =1,
Au = (-1)^1+1	1 ° ^2 1 - -2 1 1 ^2 1 ’	A„ = (-l)^1+‘- ^2 |=7,
Aa = (-1)™	1 ^1 2 1 = 1	Au = (-l)«-| J 2 | ^=2
-^31 = (— l)^3*^1	1 ^_1 2 I--5 1 2 1 | - ^5'	*» = (-l>^W-| J i =-l,
^33 = (-l)^^3	1 ^1 _1 1-2 |0 2|

Zatem

Następnie wykonujemy mnożenie:

r i -i 2 ] r 4 7 -5 ] r-i o o i    r i o o ]

A-A^d= \ 0 2 1 •    1    1-1 1 = 1 0-1    0 =-    0 10

[ 1 2 3 J [-2 -3 2 J [ 0 0 -1 J    [ 0 0 1 J

Zauważmy , że detA =

= —1 . Zatem otrzymaliśmy równość: A ■ A^D = det(i4) • E-.j. Wynik

ten nie jest przypadkowy. Prawdziwe jest bowiem twierdzenie:

Tw. Jeżeli A jest dowolną macierzą kwadratową stopnia n, a >1° - macierzą dołączoną macierzy A, to prawdziwa jest równość: