img059

Definicja 5.5. Niech f*RⁿDA-»R, Mówimy, że płaszczyzna o równaniu n    *

:_q ■ y ^ A^(x_i-e_i) ♦ b Jest styczna do powierzchni o równaniu x_Q »

1-1

f (x.

*_n) ■ f(x) w punkcie a - (a_1#.,.a_n). Jeśli

_r n

^f(x)    *!(>!-•!> * bl

lim

(5.4

_Llml_d - 0

d_k(x,»)

Przykład

2 2 2

Niech f:R 3(x,y)-*x *y ♦ Wówczas płaszczyzna styczna do powlerzch-2 2

nl o równaniu z - x ♦ y* (powierzchnia ta zwane Jest parabololdę obrotowy , przedstawiono Ję na rysunku 6) w punkcie (l_rl) ma równanie z ■

■ 2x ♦ 2y - 2. Rzeczywiście, 2 2

lim

(x,y)-*(l, (dlaczego?).

o

X *y -2(x»y) ♦ 2

H<*-*>* ♦ (v-jT²

Twierdzenie 5,4. Oeśli funkcje f jest różniczkowałoś w punkcie aeRⁿ, to ma 'ona w tym punkcie płaszczyznę stycznę o równaniu

n

x_o - r    ^ai) ♦    (5.5)

i-i

gdzie u. (i-1,...,n) s« tymi samymi liczbami, które występuję we wzorze (5,3).

Dowód. *e wzorze (5.3) przyjmijmy a ♦ h - x - (x^, «.«,*_n). Wówczas h -• (^hx.....h_n) -    oraz

lx-e I

f(x) -J^f(a) ♦    °i(^xi~*i^ j * £(*’•)

Dzlelęc obustronnie oetatnlę równość przez d_k(x,a) - 1x-el_n i prze-chodzfc do granicy, gdy d_k(x_#a)—*0, otrzyaujeay równość (5.4) (zobacz 5.3)) co oznacza, f płaszczyzna o równaniu (5.5) jest styczna do powierzchni o równaniu x_Q - f(x) w punkcie a.

Dowód został rekortczony.

Definicja 5.6. Pochodnę częstkowę funkcji fłRⁿ DA —R względem x_i